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故 A*?( AU?1)( AU?1)T,
令 P?( AU?1)T，则P可逆，且A*?PTP，所以A*为正定矩阵.
例28(1999.Ⅲ)设A为m?n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B??E?ATA，
试证：当??0时，矩阵B为正定矩阵.
证 因为BT?(?E?ATA)T??E?ATA?B，所以B为n阶实对称矩阵，
且对任意的实n维向量x，有
xTBTx?xT(?E?ATA)Tx??xTx?(Ax)TAx,
当x?0时，有
xTx?0, (Ax)TAx?0，
于是当??0时，xTBTx??0，所以B为正定矩阵.
例29(1999.Ⅰ)设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m?n实矩阵，BT为B的转置矩阵，
试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是R(B)=n.
证 必要性
? ?设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x?0
? ?
?xT?BTAB
?
??x?0，即(Bx)T
A(Bx)?0.
于是当x?0时，有Bx?0，
因此齐次线性方程组Bx=0只有零解，故R(B)?n.
充分性
因为(BTAB)T?BTATB?BTAB，
所以BTAB为实对称矩阵，
若R(B)=n，则Bx=0只有零解，从而对任意的实n维列向量x?0均有Bx?0,
又A为正定矩阵，所以对任意的实n维列向量Bx?0，有
(Bx)TA(Bx)?0
?于是当x?0时，有xT
?
?BTAB
?
???0，
x故 BTAB是正定矩阵.
x
目标测试题
一、填空题
?3? ??1?
1.设???2?,???3?，且?与?正交，则a= .
? ? ? ?
???2?? ??a??
?5 6 0?
2.设A???1 0 0?，则A的特征值为 .
? ?
??1 2 ?1??
233．(1998.Ⅰ)设A为n阶矩阵，A?0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若?为A的一个特征值，则(A*)2?E必有特征值 .
2
3
14.已知二次型f?x2
1
?4x2
?2x2
2tx1x2
?2x1x3
为正定二次型，则t= .
5.(2002.Ⅰ)已知二次型f?a(x2
x2
?x2)?4xx
4xx
4x x
经正交变换x?Py
1可化为f?6y2，则a???.
1
二、选择题
1 2 3
12 13 2 3
1.已知三阶矩阵A有特征值? ?-1，? ?2，? ?-3，，则5A*的特征值是( ).
1 2 3
(A)-30,15,-10， (B)-5,10,-15，
(C)-6,12,-18， (D)-1,2,-3.
? ?1
? ?
2.(1995.Ⅰ)设??2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵? A2? 有一个特征值等于
?3 ?
( ).
4 3
(A) , (B)
, (C)1
, (D)1.
3 4 2 4
?1
?1
3.(1992.Ⅴ)矩阵A??
?1
?1
1 1 1?
1 1 1?
?的非零特征值为 .
1 1 1?
1 1 ?
(A)1, (B)2, (C)3, (D)4.
已知二次型f?2x2?3x2?3x2?4xx经正交变换可化为标准形f?2y2?y2?5y2，
1 2 3 2 3 1 2 3
则在条件x2?x2?x2
?1下，二次型f的最大值为( ).
1 2 3
(A)2, (B)10, (C)5, (D)18.
已知二次型f??x2?4x2?2x2?2txx ?2xx
是负定的，则t的取值为( ).
21 2 3 1 2 13
2
2(A)t?2， (B)t?2， (C)t?
2
三、计算题
，(D)t? .
?1 2 2?
? ?求矩阵A??2 1 2?
? ?
??2 2 1??
问下列各对矩阵是否相似？
?3 0 0? ?3 1 0?
? ? ? ?(1)
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