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数学四

线性代数总结

一、行列式

1．n阶行列式的概念

a11a12……a1n

n阶行列式的递归定义 a21a22……a2n

有n^2个数组成的n阶列式D=

………………

是一个算式，当

n=1时 an1an2……ann

la11l=a11。当n≥2时

n

D=a11A11+a12A12+…+a1A1n=∑a1jA1j

j=1

其中A1j=(-1)^1+j M1j，为a1j的代数余子式。

M1j=

a21…a2j-1a2j+1…a2na31…a3j-1a3j+1…a3n

……

an1…anj-2anj+1…ann

为a1j的余子式。

n阶行列式的逆序定义

a11a12……a1na21a22……a2n

1

12 n

………………

an1an2……ann

=∑(-1)^σ(i,i…i)

（i1,i2…in）

1i1 2i2…nin

2．行列式的性质

性质一 行列式的行和列互换后，行列式的值不变。

性质二 行列式的两行（或两列）互换，行列式改变符号。

推论 如果行列式中有两行（或列）的对应元素相同，则此行列式为零。性质三 用数k乘以行列式的一行（列），等于以数k乘以此行列式。推论 如果行列式某行（列）的所有元素的公因子，则公因子可以提到行列式外面。

推论 如果行列式有两行（或两列）的对应元素成比列，则行列式等于零。推论 如果行列式中以行（或一列）全为零，则行列式的值必为零。

性质四 如果行列式中的某行（或某列）均为两项之和，则行列式等于两个行列式之和。

推论 如果将行列式某一行（或某一列）的每一个元素都写成M（M≥2）个元素的和，则此行列式可以写成M个行列式的和。

性质五 将行列式的某一行（列）的每一个元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。

性质六 如果行列式中某行（或列）中各元素是其余各行（或各列）分别乘一常数后各对应元素之和，则行列式的值为零。

性质七 行列式的任何一行（或列）的元素于另一行（或列）的对应元素的代数余子式的乘积之和必为零。

ai1Aj1+ai2Aj2+…+a1nAjn=0 (i≠j)3．拉普拉斯展开式

行列式按k行（或列）展开，则

c

D=∑MiAi (Mi为k阶子式，Ai为k阶代数余子式)

i=1

利用拉普拉斯展开式的两种特殊情况

a11…

a11…a1n

0

…0

…………

an1…ann 0 …0

a11…a1n

…=………

b11…b1n

……………

c11…c1n b11…b1n

…………

cm1…cmn bm1…bmn

an1…ann

bm1…bmn

0 … 0 a11…a1n

…………

a11…a1n

b11…b1n

0 … 0 an1

…ann

=（-1）^(mn)

……………

……………

c11…c1n b11…b1n

…………

cm1…cmn bm1…bmn

重要公式及结论

an1…ann

bm1…bmn

如果A,B均为n阶矩阵，则lABl=lAllBl，但AB≠BA。

如果A,B均为n阶矩阵，则lA±Bl≠lAl±lBl。

如果A为n阶矩阵，则lkAl=k^nlAl。

如果A为n阶矩阵，则lAl=lA′l

如果A为n阶可逆矩阵，则lAˉ l=1/lAl；lkAˉ l=k^n/lAl。

如果A*为A的伴随矩阵，则lA*l=lAl^(n-1)

如果A为n阶矩阵,则ai1Aj1+ai2Aj2+…+a1nAjn=

AC AO OA

lAl （i=j）

0 （i≠j）

OB

lBl

OABC

=lAllBl；CB

=lAllBlB；O

=（-1）^(mn)lAl

=（-1）^(mn)lAllBl。

a11 X a11 O

a22 a22

=

O ann X ann

=a11a22…ann。

a11 O

a22

=

O ann

O a1n

a2n-1 =

an1 O

O a1n

a2n-1

an1 X

X a1n

= a2n-1

an1 O

=(-1)^[n(n+1)/2]a1na2n-1…an1。

范德蒙行列式

111

1

1

1

…

1

a1

a2

a