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schrdider的波动力学与heisenberg的矩阵力学

我们知道schrdick的波动力学和heinburg的矩阵力学是微分方程的形式，是局部描述的形式。feynman路径积分是泛函比分的形状，是完整性的描述。后者的形状更适合描述原子经裂缝的透射和干涉。在20世纪90年代的《电子辐射形态及其概率分布》中，我们必须考虑重量对原子的影响。例如，在杨氏双缝的干扰实验中，为了计算原子在原子光学中的辐射状态及其概率分布，有必要考虑重力对原子的影响。例如，在杨氏单缝干扰的实验中，有使用两种不同的公式进行干预间隔计算的。其中之一是德国丘纳尔和mlynark使用的公式。z=d，e，双缝中的原子为deb。f是从双缝到测量符之间的距离，d是从双缝到发光带之间的距离，s是双缝之间的距离，s是与光干涉带间隔的公式相同的形状。另一个是由日本人shimizu等人使用的公式z=（h.vms）[2（1）。

1原子在重力场中的经典作用量

设原子从源S出发经一切可能的路径运动到缝上C点,再经缝的衍射运动到屏上P点,如图1所示.按照量子力学中Feynman路径积分理论,原子经缝后的衍射态为

Ψ(r,T)=∫WTBXCdrCU(P,C)U(C,S)(1)

式中传播子

U(P,C)=Aexpi?S(Ρ?C)](2)i?S(P?C)](2)

U(C,S)=A0expi?S(C?S)](3)

式(2)、式(3)中的作用量S(P,C)和S(C,S)都是经典作用量,式(1)是由经典作用量表示量子力学中的物理量,即波函数.因此可以由原子在重力场中运动的抛物线轨道计算经典作用量.总能量为E、势能为V的原子在重力场中从S到C经时间t的作用量为

式中v0为原子在S点的初速,α为初速与x轴的夹角.令z=v0sinαt-13gt2,式(4)变为

S(C,S)=mv20t-mgzt-Et(5)

设原子从S到P的总时间为T,C到P的时间为T-t,原子从C到P点的作用量为

S(P,C)=mv2p(T-t)-mgz(T-t)-E(T-t)(6)

假设v0和vp均可近似用平均速度(r0+r)/T=v代替,则式(5)、式(6)分别变为

S(C,S)=mvr′0-mgzt-Et(7)

S(P,C)=mvr′-mgz(T-t)-E(T-t)(8)

取近似r′0≈r0,r′≈r-zsinθ,则式(1)变为

Ψ(r,T)=∫a/2-a/2dzAA0expi?[S(Ρ?C)+S(C?S)]=AA0∫a/2-a/2dzexpi?[mv2Τ-(mvsinθ+mgΤ)z-EΤ]}(9)

式(9)经积分后即得

Ψ(r,T)=AA0asin[12?(mvasinθ+mgΤa)]12?(mvasinθ+mgΤa)expi?(mv2Τ-EΤ)](10)

这是原子经缝衍射后的量子态.原子在屏上的概率分布为

|Ψ(r?Τ)|2=(AA0a)2sin2[12?(mvasinθ+mgΤa)][12?(mvasinθ+mgΤa)]2(11)

式(11)结果与严格从自由粒子传播子计算的结果在衍射因子方面完全相同,我们看到,屏上衍射条纹与无重力影响相比整体要向下移动.

2实验结果与讨论

如图2所示,由原子的单缝衍射公式(9),可得到原子穿过双缝的衍射态是原子穿过每一缝的衍射态的叠加

Ψ(r,T)=Ψ1(r,T)+Ψ2(r,T)(12)

严格地说,式(12)表示原子的两可能量子态的叠加.由图2中的参数,上式变为

Ψ(r?Τ)=AA0ei?(mv2Τ-EΤ)∫(d+a)/2(d-a)/2dz·exp-i?(mvsinθ+mgΤ)z+AA0ei?(mv2Τ-EΤ)∫-(d-a)/2-(d+a)/2dzexp-i?(mvsinθ+mgΤ)z=AA02aei?(mv2Τ-EΤ)sin[12?(mvasinθ+mgΤa)]12?(mvasinθ+mgΤa)·cos12?(mvdsinθ+mgΤd)](13)

式(13)是原子经双缝衍射与干涉后的量子态.原子在屏上的概率分布为

|Ψ(r?Τ)|2=(AA02a)2sin2[12?(mvasinθ+mgΤa)][12?(mvasinθ+mgΤa)]2·cos212?(mvdsinθ+mgΤd)](14)

式(14)最后一个因子取极大值,得到

12?[mvdsinθ+mgΤd)]=nπ?n=0?±1?±2??(15)

令λ=hmv?ng=mgΤdh,式(15)变为

dsinθ=(n-ng)λ,n=0,±1,±2,…(16)

式(16)与不考虑重力时(ng=0)光的干涉条纹极大值所满足的公式相同.如果衍射角很小,可设sinθ≈zf,则干涉条纹在屏上的位置为

zn=(n-ng)λfd?n=0?±1?±2??(17)

在重力场中,原子在屏上