云南省大理州、怒江州重点中学2023-2024学年高三上学期第一次联合模拟考试数学试题（含答案）.doc

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大理州、怒江州重点中学2024届高三联考

数学

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若集合，，则（）

A. B. C. D.

2.已知（其中为虚数单位），若是的共轮复数，则（）

A. B.1 C. D.i

3.在的展开式中，含的项的系数是（）

A.5 B.6 C.7 D.11

4.若函数的图象关于原点对称，则（）

A. B. C. D.

5.已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（）

A. B. C. D.

6.已知为偶函数，且在上为增函数，，满足不等式的取值范围是（）

A. B.

C. D.

7.已知，则（）

A.2 B. C. D.

8.已知等比数列的前项和为，，，则（）

A.29 B.31 C.33 D.36

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）

9.有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，c为非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同

10.已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则下列结论正确的是（）

A.正四棱锥的体积为 B.正四棱锥的侧面积为16

C.外接球的表面积为 D.外接球的体积为

11.已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（）

A.若轴，则 B.若，则的面积为

C.长度的最小值为2 D.若，则

12.设函数，则下列说法正确的是（）

A.没有零点 B.当时，的图像位于轴下方

C.存在单调递增区间 D.有且仅有两个极值点

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______.

14.某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于1年的概率为，使用寿命不少于9年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为______.

15.已知点是直线上一动点，，是圆：的两条切线，，为切点，若四边形的最小面积是2，则的值为______.

16.在棱长为1的正方体中，是底面内动点，且平面，当最大时，三棱锥的体积为______.

四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12分）

在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角B的大小；

（2）若为锐角三角形，且，，求的面积.

18.（本小题12分）

已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过的最大整数，如，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前2020项的和.

19.（本小题12分）

已知在多面体中，，，，，，且平面平面.

（Ⅰ）设点为线段的中点，试证明平面；

（Ⅱ）与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

20.（本小题12分）

为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植、、三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植后，会有的可能性种植，的可能性种植；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为.

（1）在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率；

（2）在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望.

21.（本小题12分）

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明不等式恒成立.

22.（本小题12分）

已知双曲线C：的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于M，N两点，点关于轴对称的点为.当时，.

（1）求双曲线的方程；

（2）若的外心为，求的取值范围.

数学答案

1.【答案】A

【解析】因为，所以，，

因为，所以，，

所以，故选A.

2.【答案】D

【解析】，，故选D.

3.【答案】C

【解析】因为中只有和中含的项，

的含的项为，的含的项为，

所以的展开式中含的项的系数是.故选：C.

4.【答案】C

【解析】因为函数的图象关于原点对称，即，

所以可得，即，

，即，

，.故选C.

5.【答案】A

【解析】设，，

，，，

，，，，

，，，椭圆的方程是.故选A.

6.【答案】C

【解析】函数为偶函数，且在上为增函数，

函数在上为减函数，

又，故不等式等价于，

解得或，故选：C.

7.【答案】B

【解析】因为，所以.故选：B