数学分析试题.docx

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枣庄学院2004级数学与应用数学（本科）专业

“数学分析（一）”试题（A卷）

班级 姓名 成绩

一、填空（每小题2分，共20分）

lim

x?a?

f(x)?A的???定义为

?lim?1?

?

x???

3?x2

??

?

x2?

limsin?x?

x?0sin?x

若f?(a)?1，则lim

f(a??x)?f(a??x)?

?x?0 ?x

limf(x)存在的柯西准则为

x???

函数ex带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式为

若f(x)在(a,b)内向下凸且二次可导，则对?x?(a,b)有f?(x)

1

曲线y?

x2?4x?5

??x?

?

的垂直渐近线为

1

若函数f(x)??

??0,

sin

, x?0

x 在x?0处可导，则?

x?0

若点(1,3)为曲线y?2ax3

2bx2的拐点，则a,b的值为

二、判断（每小题2分，共10分）

1．若limf(x)?A?0，则f(x)?0 （ ）

x?a

若lima

n?? n

存在，则数列{a

n

}为有界数列 （ ）

若x为函数f(x)的极值点，则f?(x)?0 （ ）

0 0

无穷大量不一定为无界量，但无界量一定为无穷大量 （ ）

5．若???0，数列{a

n

}中只有有限项在?(a,?)之外，则lima

n?? n

?a （ ）

三、计算下列各题（每小题6分，共30分）

? 1 1 1 ?

lim?

n???

?lim?1?

?

x?0?x ex

? ????? ?

n2?

n2?1

n2?2

n2?n

? ?1

? ?1

?

?

lim2

x???

arctanx

;

sin1

x

4．设y?ln(x? 1?x2)，求y?

5．设y?x3ex，求y(10)

?x2?1 ?

四、（10分）已知lim?x?1?ax?b??0,确定常数a,b的值。

x???? ?

五、证明下列各题（每小题5分，共30分）

用定义证明limx3?1?3

x?1 x?1

叙述并证明函数极限limf(x)的归结原则

x???

若f(x)在[a,b]上连续，且对任意的x?[a,b]有a?f(x)?b，证明f(x)在[a,b]内至少有一个不动点。

若函数f(x)在(a,b)上连续，且f(a?0)与f(b?0)存在，证明f(x)在(a,b)一致连续。

设b?a?0，证明存在??(a,b)使得blna?alnb?(b?a)(ln??1)成立

设f(x)在点a附近有n?1阶连续导数且f(n?1)(a)?0，

又f(a?h)?f(a)?f?(a)h?????

f(n)(a??h)

n!

hn，0???1，证明lim??

h?0

1

n?1

枣庄学院2004级数学与应用数学（本科）专业

“数学分析（一）”试题（A卷）答案

一、1.?? ?0,???0,?x?:0?x??a??,?|f(x?)?A|??

0 0

?

2．e?3； 3．?； 4.2；

5．limf(x)存在????0,?M?0,?x??M,x??M有|f(x?)?f(x?)|??

x