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全等三角形基本模型
平移型
例1.如图1,A,B,C,D在同一直线上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF,求证:△AFC≌△DEB.如果将BD沿着AD边的方向平行移动,如图2,3时,其余条件不变,结论是否成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.
例2.(1)如图(1)所示,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,且AB=CD,求证:EG=FG;
(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动,变为图(2)时,其余条件不变,则EG=FG是否仍然成立?请说明理由.
对称型
例3.如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC边翻折形成的,若∠1:∠2:∠3=13:3:2,CD与BE交于O点,求∠EOC的度数。
.
例4.如图,已知AB=CD,∠B=∠C,AC和BD相交于点O,E是AD的中点,连接OE.
(1)求证:△AOB≌△DOC;
(2)求∠AEO的度数.
例5.如图所示,已知AB=DC,AE=DF,CE=BF,试说明:AF=DE.
旋转型
(1)手拉手模型
结论:(1)△ABD≌△AEC(2)∠α+∠BOC=180°
(3)OA平分∠BOC
变形:
例6.如图在直线的同一侧作两个等边三角形与,连结与,证明
(1)
与之间的夹角为
平分
变式1:如图两个等边三角形与,连结与,
证明(1)
与之间的夹角为
与的交点设为,平分
变式2:如图两个等边三角形与,连结与,
证明(1)
与之间的夹角为
与的交点设为,平分
巩固训练:
1.如图,两个正方形与,连结,二者相交于点
问:(1)是否成立?
是否与相等?
与之间的夹角为多少度?
是否平分?
2:如图两个等腰直角三角形与,连结,二者相交于点
问:(1)是否成立?
(2)是否与相等?
(3)与之间的夹角为多少度?
(4)是否平分?
3:两个等腰三角形与,其中,,连结与,
问:(1)是否成立?
(2)是否与相等?
(3)与之间的夹角为多少度?
(4)是否平分?
4:如图,点A.B.?C在同一条直线上,分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接AE、DC,AE与DC所在直线相交于F,连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系,并证明你的结论。
5.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度数;
(3)求证:CD=2BF+DE.
(2)
一线三等角模型
例7在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:△ADC≌△CEB
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,写出线段DE、AD和BE的数量关系,并说明理由.
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,直接写出DE、AD和BE的数量关系(不用说明理由)
例9.如图,在△ABC中,AB=AC=3,∠B=∠C=50°,点D在边BC上运动(点D不与BC点重合),连接AD,作∠ADE=50°,DE交边AC于点E.
(1)当∠BDA=100°时,∠EDC=°,∠DEC=°;
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由.
例10.如图,把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,试回答下列问题:
(1)若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转,当AB∥MN时,∠2=度;
(2)在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中,分别作AM⊥MN于M,BN⊥MN与N,若AM=6,BN=2,求MN.
(3)三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置,其他条件不变,则AM、BN与MN之间有什么关系?请说明理由.
【巩固强化】
1.如图,AE=DF,∠A=∠D,欲证△ACE≌△DBF,需要添加条件,证明全等的理由是.
2.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.这种做法是利用了全等三角形对应角相等,图中判断三角形全等的依据是.
3.如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:其中正确的结论有()
①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;
④CD=DN;⑤△AFN≌△AEM.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4
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