高中数学人教A版第三章函数的应用【区一等奖】.docxVIP

教案：复合函数的单调性

教学任务：明确并理解复合函数定义；会求复合函数的单调区间；会讨论含参复合函数的单调性问题。

教学目的：有助于研究复合函数的性质，提升对函数思想的进一步理解。

教学意义：在复合函数中，“中间变量”是形成问题转化的桥梁和关键，这一认识将帮助学生提高利用函数思想解决问题的能力。

课堂教学过程

一、复合函数定义

设定义域为Ａ，的值域为Ｂ，若，则关于的函数叫做函数与的复合函数，叫中间变量．

例如：

分析：＝，定义域；

，值域为；

满足，故是上述对数函数与一元二次函数的复合函数．

二、４个引理

引理１已知函数，若在区间上是增函数，其值域为，又函数在区间上是增函数，那么该复合函数在区间上是增函数．（说明：引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间．）

证明：设，则

因为，在区间上是增函数，所以有；

又因为，函数在区间上是增函数，所以有．得，所以在上，由可以得．

综上所述可得：复合函数在区间上是增函数．

引理２已知函数，若在区间上是减函数，其值域为，又函数在区间上是减函数，那么该复合函数在区间上是增函数．（说明：引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间．）

证明：设，则

因为，在区间上是减函数，所以有；

又因为，函数在区间上是减函数，所以有．得，所以在上，由可以得．

综上所述可得：复合函数在区间上是增函数．

引理３已知函数，若在区间上是增函数，其值域为，又函数在区间上是减函数，那么该复合函数在区间上是减函数．（说明：引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间．）

证明：设，则

因为，在区间上是增函数，所以有；

又因为，函数在区间上是减函数，所以有．得，所以在上，由可以得．

综上所述可得：复合函数在区间上是减函数．

引理４已知函数，若在区间上是减函数，其值域为，又函数在区间上是增函数，那么该复合函数在区间上是减函数．（说明：引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间．）

证明：设，则

因为，在区间上是减函数，所以有；

又因为，函数在区间上是增函数，所以有．得，所以在上，由可以得．

综上所述可得：复合函数在区间上是减函数．

三、４个引理简记表格

若

则

增函数

增函数

增函数

减函数

减函数

增函数

增函数

减函数

减函数

减函数

增函数

减函数

例如：复合函数，在区间上是增函数，其值域为，又函数在区间上是增函数，则该复合函数在区间上是增函数．（同增为增）

复合函数，在区间上是减函数，其值域为，又函数在区间上是增函数，则该复合函数在区间上是减函数．（一增一减为减）

又如：复合函数，在区间上是减函数，其值域为，又函数在区间上是减函数，则该复合函数在区间上是增函数．（同减为增）

复合函数，在区间上是增函数，其值域为，又函数在区间上是减函数，则该复合函数在区间上是减函数．（一增一减为减）

四、练习

１．求下列函数的单调区间

；增区间，减区间

；增区间，减区间

求函数的增区间．增区间，减区间

３．已知函数在区间（２，+∞）上是减函数，则实数的取值范围是．

４．若函数在区间（１，３）内单调递增，则的取值范围是．

５．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是．

已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是．

小结

作业