高中数学人教A版第一章集合与函数概念集合优秀作品.docxVIP

函数的概念及其表示法

函数的定义：

①传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量。

②现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。

映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。如果集合A中的元素a对应到集合B中的元素b，那么其中集合B中的元素b是集合A中元素a对应的“象”；b是a的“原象”。

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集。

对应有以下几种形式：

9

9

4

1

3

?3

2

?2

1

?1

30?

45?

60?

90?

1

?1

2

?2

3

?3

1

4

9

1

2

3

1

2

3

4

5

6

开平方

求正弦

求平方

乘以2

（1）（2）（3）（4）

其中：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）

总结：①根据映射的定义知“一对多”（如①）不是映射；②A中每一个元素都有象；

③B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；④A中每一个元素的象唯一。

函数的定义域：函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受实际意义的制约。

如：的定义域是非负实数；圆半径R与面积S的函数关系的定义域为正数；的定义域是非零实数……

注：求函数的定义域的常见类型

当为整式时，定义域为Ｒ；

当为分式时，定义域为使分母不为０的x的集合；

当为二次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合；

当是由几个式子组成时，定义域是使得各个式子都有意义的x的值的集合。

函数的对应法则：对应关系f是函数关系的本质特征，y=f（x）的意义是：y就是x在关系到f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。

如：f(x)=3x+5，f表示自变量的3倍加上5。

函数的值域：函数的值域：自变量在定义于内取值时相应的函数值的集合。

求函数的值域的常用方法：

1．观察法求函数值域

【例31】求下列函数值域：

（1），（2），

（3）（4）

2．配方法求二次函数值域

【例32】已知函数，分别求它在下列区间上的值域。

（1）；（2）；（3）；（4）．

提示：（1）函数的定义域不同，值域也不同；

（2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。

3．部分分式法求分式函数的值域（分离常数法）

【例33】求函数的值域。

4．利用“已知函数的值域”求值域

【例34】求下列函数的值域：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

5．换元法求函数值域

【例35】求函数的值域。

6．判别式法求函数值域

【例36】求函数的值域。

两个函数相等的定义：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

【例37】试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f（x）=，g（x）=；

（2）f（x）=，g（x）=

（3）f（x）=，g（x）=；

（4）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。

提示：对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数

区间的概念：设a、b是两个实数，且ab，我们规定：

满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；

满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做闭区间，表示为(a，b)；

满足不等式a≤x＜b和a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)、(a，b；

实数集合R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”。我们可以把满足不等式的实数x的集合分别表示成。

复合函数