高中数学人教A版第一章集合与函数概念单元测试（市一等奖）.docxVIP

《函数的奇偶性》专题

奇偶性

奇函数

偶函数

定

义

设函数y=f(x)的定义域为D，任意x属于D,都有-x属于D.

f(-x)=-f(x)

f(-x)=f(x)

图

像

性

质

关于原点对称

关于y轴对称

判断

步骤

定义域是否关于原点对称.

f(-x)=-f(x)

f(-x)=f(x)

判断或证明函数奇偶性的基本步骤：一看——二找——三判断

注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y轴对称或者关于原点对称。

例．判断下列函数的奇偶性

（1）（2）

（3）（4）

（5）f(x)=x+；（6）

（7）（8）

【类型一】分段函数奇偶性

1.判断函数的奇偶性：

解：当＞0时，－＜0，于是

当＜0时，－＞0，于是

综上可知，是奇函数．

2.证明，是偶函数.

3.为R上的偶函数，且当时，，则当时，

【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：

①函数f(x)是R上的偶函数；②x0时f(x)的解析式已知．

解答本题可将x0的解析式转化到x0上求解．

变式：若f(x)是奇函数呢？

此类问题的一般做法是：

①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．

②要利用已知区间的解析式进行代入．

③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

【类型二】已知函数的奇偶性求参数值：

例3、已知函数是偶函数，求实数的值．

练习：1.如果二次函数是偶函数，则．

2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a=,b=

【类型三】构造奇偶函数求值

例4、已知函数，若，求的值。

练习1.已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝()

2.若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，

则f（x）在（－∞，0）上有最小值

几个常用结论：

(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

【类型四】单调性与奇偶性

例1．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

例2.设函数f（x）对任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，

f（1）=-1

（1）求证：f（x）是奇函数

（2）判断f（x）的单调性并证明

（3）试问当-3≤x≤3时f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由

4、函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是

（）

A．B.

C.D.

5、已知函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的，都有

（1）、求的值；

（2）、判断函数的奇偶性，并加以证明