高中数学人教A版第三章函数的应用函数与方程-参赛作品.docxVIP

3.1.1方程的根与函数的零点

学习

目标

1．了解函数零点的概念，理解方程的根与函数零点之间的关系；

2．掌握函数零点存在性判定定理；

3．能结合图象求解零点问题．

重点

难点

通过函数零点概念的建立，感知函数与方程的密切联系，进一步加深对函数方程思想的理解，同时体验数学中的转化思想的意义和价值.

【问题情境】

下图是鸡西气象局测得当地一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？

【函数零点的定义】问题1考察下列一元二次方程与对应的二次函数：

(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；

(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1;

(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.

你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点坐标吗？

函数的图象

方程的实数根

x1＝，x2＝

x1＝x2＝

函数的图象与x轴的交点

(,0)、(,0)

(0)

问题2从你所列的表中你能得出什么结论？

方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数，

方程的根是函数与x轴交点的．

问题3问题2得出的结论对一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

和相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)也成立吗？

你能根据判别式的不同情况也用列表的形式加以说明吗？

答问题2中得出的结论在一般一元二次函数与一元二次方程间仍然成立，如下表所示：

判别式Δ＝b2－4

0

＝0

0

方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

的根

有两个的

实数根、

有两个的

实数根＝

实数根

函数

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

的图象

函数的图象与x轴的交点

(，0)，(，0)

(，0)

没有交点

所以一元二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根．

【小结】一般地，我们把使函数的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．

问题4函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？

函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴?方程f(x)＝0．

问题5你能说出函数①y＝lgx；②y＝lg(x＋1)；③y＝2x；④y＝2x－2的零点吗？

求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个不同的零点．

【小结】判断函数的零点的个数，可以转化为判断函数对应方程的实根的个数，也可以转化为判断函数图象与x轴交点的个数．

训练1已知函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则函数f(x)的零点个数为________．

【函数零点存在性定理】

例2判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间[2,3]上是否存在零点．

方法一方法二

【函数零点存在性定理】

若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条的曲线，且，

则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．

问题1如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的一条曲线，

函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)0是否一定成立？

不一定成立，由下图可知．

问题2满足了如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0这两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件才能保证函数有唯一的零点？

函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调．

【小结】函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)0.

也就是说上述定理不可逆．

训练2求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．

求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数．

训练3根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈的一个根所在的区间是________.

x

－1

0

1

2

3

ex

1

x＋2

1

2

3

4

5

【当堂训练】

1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____________________．

2．已知函数y＝f(x)在R上递增，下面关于函数y＝f(x)的零点的说法正确的是________．

(填序号)①至少有一个；②至多有一个；③有且只有一个；④可能有无数个．

3．函数y＝f(x