高中数学人教A版第三章函数的应用函数与方程优秀作品.docxVIP

方程的根与函数的零点

一、基本理论

（1）零点的概念及其延伸

①．记，则函数的零点方程的实数根函数的图象与轴的交点的横坐标；

图示：

②．记，则函数的零点方程的实数根方程的实数根函数的图象与的图象的交点的横坐标.

图示：

（2）介值定理与单调性原则

①．介值定理：闭区间上的连续函数端点值异号，则开区间内部必有零点.

图示：

②．单调性原则：在单调区间内函数至多一个零点.

图示：

（3）一元二次方程实根分布的等价条件

利用介值定理，结合一元二次方程两个实根（如果存在且不相等）天然的被对称轴分隔开，可以得到一元二次方程实根分布的等价条件.把与对应的函数记作，两根记作.则有下表：

实根分布

图象

等价条件

二、综合应用

（I）零点个数（数形结合以及等价转化）

例1、确定下列函数的零点个数

①.，

②.，

③.，

④.

例2、①.定义在R上的奇函数，当时，，则函数零点个数为________．

②.函数的所有零点所构成的集合为________．

③.函数，则函数的所有零点所构成的集合为________．

④.已知，则方程的根的个数是________．

⑤.函数的所有零点的和是________．

例3、零点与单调性

①.是函数的零点，若，则的值满足（）

A．B．C．D．的符号不确定

②.是函数的零点，若，则（）

A． B．

C． D．

③.是函数的一个零点.若，则（）

A． B．

C． D．

④.已知函数，实数满足，若实数x0是方程的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是()

A．B．C．D．

（II）确定零点所在区间

例1、①.已知函数的零点所在的一个区间是（）

A．(-2，-1) B．(-1，0) C．(0，1)D.(1，2)

②.己知函数，则函数的零点所在的区间是()

A.(0,1)B(1,2)C.(2,3)D(3,4)

③.方程的根存在的大致区间是（）

A．B．C． D．

例2、零点与对称性

①.已知函数，若，且，则]

②.定义域为R的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则有=_______.

③.函数与的零点分别为和，则_______.

（III）求与零点有关的参数的取值范围

例1、①.已知函数，在区间内存在使，则的取值范围是______.

②.若函数存在零点，则实数的取值范围是_______.

③.如果二次函数不存在零点，则的取值范围是_______.

例2、①.已知函数，若存在零点，则实数的取值范围是________．

②．已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是.

③.若函数无零点，实数的取值范围是_______.

④.已知，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数的取值范围是．

⑤.已知是实数，函数有且仅有两个零点，则实数的范围是．

⑥.已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是．

（IV）二次函数零点分布

例1、①.已知函数.

(1)若函数有两个零点，求的取值范围；

(2)若函数在区间与上各有一个零点，求的取值范围.

②.已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，求实数的取值范围.

③.若方程的两实根分别为，且，求实数的取值范围.

④.方程的两根均大于1，求实数的取值范围.

⑤.已知函数，其中若在区间上有零点，求实数的取值范围.

⑥.已知二次函数在上至少有一个零点，求实数的取值范围.

⑦.已知二次函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围.