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专题03实数的四种特殊考法
类型一、比较大小与实数估算
例1.比较大小:__________.
例2.比较下列实数的大小___________.
【变式训练1】设a=,b=,c=3,则a,b,c的大小关系为_______.
【变式训练2】比较大小______.
【变式训练3】比较大小:_____;_____(填“>”或“<”或“=”)
【变式训练3】比较与的大小.
类型二、整数部分问题
例.阅读下面的文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部写出来,∵,∴.于是可以用来表示的小数部分,又例如:∵,即,∴的整数部分是2,小数部分是.请解答下列问题:
(1)的整数部分是,小数部分是.
(2)已知a是的整数部分,b是其小数部分,求的值.
【变式训练1】阅读下面的文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是这个数的小数部分,又例如:,即,所以的整数部分为2,小数部分为,请解答:
(1)的整数部分是______,小数部分是______.
(2)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值;
(3)已知:x是的整数部分,y是其小数部分,请直接写出的值的相反数.
【变式训练2】材料1:2.5的整数部分是2,小数部分是0.5,小数部分可以看成是得来的,类比来看,是无理数,而,所以的整数部分是1,于是可用来表示的小数部分.
材料2:若,则有理数部分相等,无理数部分也相等,即,要满足,.
根据以上材料,完成下列问题:
(1)的整数部分是________,小数部分是__________;
(2)也是夹在相邻两个整数之间的,可以表示为,求的算术平方根.
(3)若,则________,________.
【变式训练3】规定:表示实数x的整数部分.如,,在此规定下解决下列问题.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)求的值.
【变式训练4】规定用符号[x]表示一个实数的整数部分,例如[]=0,[]=3,[]=1,并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分,按此规定解答问题:
(1)[]=,的小数部分为;
(2)已知a,b分别是的整数部分和小数部分,求的值.
类型三、新定义问题
例.定义:若无理数(为正整数):(其中为满足不等式的最大整数,为满足不等式的最小整数),则称无理数的“雅区间”为.例如:因为,所以,所以的“雅区间”为,所以的雅区间为.
解答下列问题:
(1)的“雅区间”是___________;的“雅区间”是___________.
(2)若无理数(为正整数)的“雅区间”为,的“雅区间”为,求的值.
【变式训练1】若是一个大于11两位数,与它相邻的11的整数倍的数为它的“邻居数”,与它最接近的“邻居数”为“最佳邻居数”,的“最佳邻居数”记作,令;若是一个大于111的三位数,它的“邻居数”则为111的整数倍,依此类推.例如:50的“邻居数”为44与55,,,∵,55为50的“最佳邻居数”,∴,
再如:492的“邻居数”为444和555,,,
∵,∴444是492的“最佳邻居数”,∴.
(1)求和的值;
(2)若为一个两位数,十位数字为,个位数字为,且.求的值.
【变式训练2】对任意一个三位正整数n,如果n满足百位上的数字小于十位上的数字,且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字,那么称这个数n为“望岳数”.“望岳数”n的各个数位上的数字之和的算术平方根的结果记为.例如:,满足,且,所以134是“望岳数”,;例如:,满足,但是,所以237不是“望岳数”;再如:,满足,但是,所以415不是“望岳数”.
(1)判断347和157是不是“望岳数”,并说明理由;
(2)若t是“望岳数”,且t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除,求满足条件的“望岳数”t以及的最大值.
【变式训练3】下面是小明探索的近似值的过程:
我们知道面积是2的正方形的边长是,易知.因此可设,画出如下示意图.
由图中面积计算,
另一方面由题意知
所以
略去,得方程.
解得.即.
(1)仿照上述方法,探究的近似值.(画出示意图,标明数据,并写出求解过程)
(2)结合上述具体实例,已知非负整数a、b、m,若,且,请估算___________.(用a、b的代数式表示)
类型四、规律性问题
例.对于实数a,我们规定,用符号表示不大于的最大整数,称为a的根整数,例如:,,
(1)仿照以上方法计算:_____;=_____;
(2)计算:;
(3)如果我们对a连续求根整
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