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一种基于j2摄动的lamann问题算法

组件卫星的初始结构创建问题和空间垄断问题可以追溯到。时间固定时，可以概括为lendt问题。有很多算法可以用来解决lambt问题，包括gauss方法、hidden结构、movement方法和崇拜方法。

本文提出了一种基于J2摄动下Lambert问题解析算法.在采用Battin方法解二体Lambert问题的基础上,通过用解析理论得到实际位置,以实际位置与目标位置的偏差调整二体Lambert问题中结束位置进行再次求解,直到得到满足J2摄动条件下变轨开始时刻的速度和到达目标位置时刻的速度.

1转移轨道偏心率与时间函数

对于一个给定的Lambert问题,如图1所示.如果起始位置ri,目标位置rf已经给定,飞行时间t仅仅是转移轨道半长轴a的函数.

t=f(a,ri,rf).(1)t=f(a,ri,rf).(1)

按照Lambert问题理论,如果轨道转移起始位置P1和目标位置P2固定,且|ri|+|rf|和半长轴在飞行过程中不变,转移轨道的初始焦点F和虚拟焦点F*可以不受飞行时间的约束而移动,转移轨道的形状也不会发生变化.

由图2知,转换后的轨道上P2点的真近点角v与转移轨道中ri,rf的夹角θ相关.

cosv=2√|ri||rf|cosθ2|ri|+|rf|.(2)cosv=2|ri||rf|√cosθ2|ri|+|rf|.(2)

令e为转移轨道的偏心率,飞行时间函数可以表示为

12√μa3?t=E-esinE.(3)12μa3??√?t=E?esinE.(3)

式(3)定义了飞行时间和转移轨道半长轴之间的详细关系,分析可知式(3)可以转化为如下三个方程:

y2=m(l+x)(1+x),(4a)y3-y2=mE-sinE4tan3E2,(4b)x=tan2E2.(4c)

式(4a)、(4b)中,l,m是两个常数,分别定义为l=tan2v2,m=μ?t28r30p.

式(4a)、(4b)和(4c)为Battin方法解二体Lambert问题的公式,变量y,x可以采用迭代的方法求取:1)首先猜测x=x0(x0∈[0,+∞]),依据式(4c),利用x计算E;2)通过式(4b)求出y;3)把得到的y带入式(4a)计算新的x;4)重复1)～3)这个迭代过程,直到x在允许的精确度范围内不再变化.在得到y,x后,转移轨道的半长轴和半正交弦可以表示为

a=ms(1+λ)28xy2.(5)p=2|ri||rf|y2(1+x)2sin2θ2ms(1+λ)2.(6)

其中:图2中rop可以表示为

r0p=14(|ri|+|rf|+2√|ri|?|rf|cosθ2)=14s(1+λ)2,

其中:θ为ri,rf的夹角,从而可以得到s(1+λ)2的表达式.

同时可求得转移轨道起始位置和目标位置的速度vi,vf.

vi=√μp(1-cosθ-p|rf|)1sinθ|ri|?ri+√μppsinθ|ri||rf|?rf.(7)vf=-√μp(1-cosθ-p|ri|)1sinθ|rf|?rf-√μppsinθ|ri||rf|?ri.(8)

2瞬轨道元的解析

本文采用平均轨道要素解析描述J2摄动下卫星轨道运动,任意时刻瞬时轨道根数可以表示为

a(t)=ˉa+Κ1cos2(ˉω+ˉΜ).(9)e(t)=ˉe+Κ2sin2i[3/4cos(2ˉω+ˉΜ)+7/4cos(2ˉω+3ˉΜ)]+3/2Κ2(3cos2i-1)cosˉΜ.(10)i(t)=ˉi+Κ3cos2(ˉω+ˉΜ).(11)Ω(t)=ˉΩ0+˙Ωs(t-t0)+Κ4sin2(ˉω+ˉΜ).(12)ω(t)=ˉω0+˙ωs(t-t0)+Κ5{(1-32sin2ˉi)?[1esinˉΜ+12sin2ˉΜ]-12(1-52sin2ˉi)sin2(ˉω+ˉΜ)+sin2ˉi[-14esin(2ˉω+ˉΜ)+712esin(2ˉω+3ˉΜ)+38sin(2ˉω+4ˉΜ)]}-18Κ2{-1-11cos2ˉi-40cos4ˉi1-5cos2ˉi}sin2ˉω.(13)Μ(t)=ˉΜ0+˙Μs(t-t0)+Κ5{-(1-32sin2ˉi)?[1esinˉΜ+12sin2ˉΜ]-sin2ˉi[-14esin(2ˉω+ˉΜ)+712esin(2ˉω+3ˉΜ)+38sin(2ˉω+4ˉΜ)]}+18Κ2{1-11cos2ˉi-40cos4ˉi1-5cos2ˉi}sin2ˉω.(14)

式(9)～(14)中

˙Ωs=-32J2R2eˉa2(1-ˉe2)2ˉncosˉi,˙ωs=32J2R2eˉa2(1-ˉe2)2ˉn(2-52sin2ˉi),˙Μs=ˉn+32J2R2eˉa2(1-ˉe2)32ˉn(1-32sin2ˉi),ˉn=μ12ˉa32,Κ1=32R2eˉaJ2sin2ˉi,Κ2=J