苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第22讲 二次根式的乘除（教师版）.docxVIP

第12章二次根式

12.2二次根式的乘除

目标导航

目标导航

课程标准

课标解读

理解二次根式的乘、除运算

1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算。

2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简。

知识精讲

知识精讲

知识点二次根式的乘除法

（一）二次根式的乘法及积的算术平方根

1.乘法法则：,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。

【微点拨】

(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)。

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简。

2.积的算术平方根:

,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

【微点拨】

(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；

(2)与都是的算术平方根；

(3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面。

（二）二次根式的除法及商的算术平方根

1.除法法则：,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除。

【微点拨】

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，0，因为b在分母上，故b不能为0；

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

2.商的算术平方根:

，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

【微点拨】与都是的算术平方根。

（三）最简二次根式

（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

（2）被开方数中不含有分母；

（3）分母中不含有根号。

满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式。

【微点拨】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：

（1)被开方数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式。

【即学即练1】计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)0(2)1

【分析】(1)运用二次根式的除法运算法则，求一个数的立方根计算即可．

(2)按照平方差公式进行计算即可．

【解析】(1)???

???=2+1-3

???=0．

(2)（）（）

=

???=3-2

???=1．

【即学即练2】计算：

(1)．

(2)﹣2×+|1﹣|．

【答案】(1)0(2)-3

【分析】（1）先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可；

（2）先化简各数，然后再进行计算即可．

【解析】(1)解：+

＝+

＝+

＝-+

＝0．

(2)解：﹣2×+|1﹣|

＝﹣2﹣2×+﹣1

＝﹣2﹣+﹣1

＝﹣3．

能力拓展

能力拓展

考法01二次根式的乘除法

【典例1】材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π，等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．

材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5?2得来的．

材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如，是因为．

根据上述材料，回答下列问题：

（1）的整数部分是，小数部分是．

（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值．

（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数．

【答案】（1）4，；（2）13；（3）

【分析】（1）先估算在哪两个整数之间，即可确定的整数部分和小数部分；

（2）先估算出的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案；

（3）先求出的整数部分，得到3+的整数部分即为x的值，从而表示出y，求出x+4y的结果，再求x+4y的倒数即可．

【解析】解：（1）∵，

∴，

∴的整数部分是4，小数部分是-4，

故答案为：4，；

（2）∵，

∴，

∴，

∵，

∴a=6，b=7，

∴a+b=13；

（3）∵1＜＜2，

∴1+3＜3+＜2+3，

∴4＜3+＜5，

∴x=4，

y=3+-4=，

x+4y=4+4(-1）=4，

∴x+4y的倒数是．

考法02最简二次根式

【典例2】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：

设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：______，______；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、，符合．_