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导数练习题〔B〕答案

1．〔此题总分值12分〕

函数的图象如下图．

〔I〕求的值；

〔II〕假设函数在处的切线方程为，求函数的解析式；

〔III〕在〔II〕的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．

解：函数的导函数为…………〔2分〕

〔I〕由图可知函数的图象过点〔0，3〕，且

得…………〔4分〕

〔II〕依题意且

解得所以…………〔8分〕

〔III〕．可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点；

，

+

0

-

0

+

增

极大值

减

极小值

增

．…………〔10分〕

当且仅当时，有三个交点，

故而，为所求．…………〔12分〕

2．〔本小题总分值12分〕

函数．

〔I〕求函数的单调区间；

〔II〕函数的图象的在处切线的斜率为假设函数在区间〔1，3〕上不是单调函数，求m的取值范围．

解：〔I〕 〔2分〕

当

当

当a=1时，不是单调函数 〔5分〕

〔II〕

〔6分〕

〔8分〕〔10分〕 〔12分〕

3．〔本小题总分值14分〕

函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．

〔I〕求实数的取值范围；

〔II〕假设方程恰好有两个不同的根，求的解析式；

〔III〕对于〔II〕中的函数，对任意，求证：．

解：〔I〕

由，因为当时取得极大值，

所以，所以；

…………〔4分〕

〔II〕由下表：

+

0

-

0

-

递增

极大值

递减

极小值

递增

依题意得：，解得：

所以函数的解析式是：

…………〔10分〕

〔III〕对任意的实数都有

在区间[-2，2]有：

函数上的最大值与最小值的差等于81，

所以．

…………〔14分〕

4．〔本小题总分值12分〕

常数，为自然对数的底数，函数，．

〔I〕写出的单调递增区间，并证明；

〔II〕讨论函数在区间上零点的个数．

解：〔I〕，得的单调递增区间是，…………〔2分〕

∵，∴，∴，即．…………〔4分〕

〔II〕，由，得，列表

-

0

+

单调递减

极小值

单调递增

当时，函数取极小值，无极大值．

…………〔6分〕

由〔I〕，∵，∴，∴

，…………〔8分〕

〔i〕当，即时，函数在区间不存在零点

〔ii〕当，即时

假设，即时，函数在区间不存在零点

假设，即时，函数在区间存在一个零点；

假设，即时，函数在区间存在两个零点；

综上所述，在上，我们有结论：

当时，函数无零点；

当时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点．

…………〔12分〕

5．〔本小题总分值14分〕

函数．

〔I〕当时，求函数的最大值；

〔II〕假设函数没有零点，求实数的取值范围；

解：〔I〕当时，

定义域为〔1，+〕，令，………………〔2分〕

∵当，当，

∴内是增函数，上是减函数

∴当时，取最大值………………〔4分〕

〔II〕①当，函数图象与函数图象有公共点，

∴函数有零点，不合要求；………………〔8分〕

②当，………………〔6分〕

令，∵，

∴内是增函数，上是减函数，

∴的最大值是，

∵函数没有零点，∴，，

因此，假设函数没有零点，那么实数的取值范围．………………〔10分〕

6．〔本小题总分值12分〕

是函数的一个极值点〔〕．

〔I〕求实数的值；

〔II〕求函数在的最大值和最小值．

解：〔I〕由可得

……〔4分〕

∵是函数的一个极值点，∴

∴，解得……………〔6分〕

〔II〕由，得在递增，在递增，

由，得在在递减

∴是在的最小值；……………〔8分〕

，∵

∴在的最大值是．……………〔12分〕

7．〔本小题总分值14分〕

函数

〔I〕当a=18时，求函数的单调区间；

〔II〕求函数在区间上的最小值．

解：〔Ⅰ〕，

2分

由得，解得或

注意到，所以函数的单调递增区间是〔4，+∞〕

由得，解得-2＜＜4，

注意到，所以函数的单调递减区间是.

综上所述，函数的单调增区间是〔4，+∞〕，单调减区间是 6分

〔Ⅱ〕在时，

所以，

设

当时，有△=16+4×2，

此时，所以，在上单调递增，

所以 8分

当时，△=，

令，