导数在解析几何中的应用论文.doc

导数思想在解析几何的一个简单应用

导数隶属于函数内容，看似与解析几何毫无关联。但是导数的几何意义是切线斜率，我们常用求导的方法求解函数的切线。而某些曲线方程本身是函数解析式或者曲线某一局部能够写成函数解析式，因此求曲线的切线问题也可以理解成求函数切线问题。

下面通过几道例题来说明导数在解析几何中的应用：

例1、〔07安徽〕过点作抛物线的切线，求切线方程

解：设切点由，知抛物线在点处的切线斜率为

故所求切线方程为即

因为点在切线上所以，，

所求切线方程为。

【小结】本小题也可以用常规的方法，点斜式设直线，与抛物线联立，利用求出斜率，写出

直线。

〔变式〕在点处作抛物线的切线，求切线方程

解：抛物线在第一象限的方程为

由，知抛物线在点处的切线斜率为

故所求切线方程为即

【小结】本小题的出题目的是，只有将曲线方程变形为函数解析式后，才能用求导的方法求切线。

例2、〔07韶关调研〕，点在轴上，点在轴正半轴上，点在直线上，且满足、。当在轴上移动时，设动点的轨迹为。

⑴求的方程

⑵过点的直线与轨迹交于、两点，分别过、作轨迹的切线、。当时，求直线的方程。

解：⑴设

那么

⑵设易知

显然斜率存在，设，与联立得

由得或即

例3、〔08广州调研〕过点的直线与抛物线交于两点、。、分别是该抛物线在、两点处的切线。、分别是、与直线的交点。

⑴求直线的斜率的取值范围

⑵试比拟与的大小，说明理由。

解：⑴得由得或

⑵切线即

令得同理又由⑴知即

又

例4、〔07江苏〕过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线交于、两点。一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点、。假设为线段的中点，求证：为此抛物线的切线

解：设、，Q

由，所以，切线方程为，

又即得,即Q

，在过点的切线上

即为此抛物线的切线。

例5、〔08山东〕设抛物线方程为，为直线上任意一点。过引抛物线的切线，切点分别为、，求证：、、三点的横坐标成等差数列。

证明：设

由得，那么 所以

因此切线MA的方程为直线MB的方程为

所以①②

由①、②得

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列。

例6、〔06全国Ⅱ〕抛物线的焦点为F，A、B是直线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

〔I〕证明为定值；

〔II〕设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。

解：(Ⅰ)由条件，得F(0，1)，λ＞0．

设、，由EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))，即得

即

抛物线方程为y＝EQ\f(1,4)x2，求导得y′＝EQ\f(1,2)x，

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

即

解出两条切线的交点M

所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))＝

＝=0

所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))为定值，其值为0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|

|FM|＝＝EQ\r(,λ＋\f(1,λ)＋2)＝EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋EQ\f(1,λ)＋2＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))2

于是S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))3

由EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4。

【总结】求二次曲线切线问题的常规方法是点斜式设直线方程，与抛物线联立，利用求出斜率，写出直线方程。而通过上述例题可以看到，使用常规方法会非常麻烦。而采用求导的方法就简捷很多。当然，导数在解析几何中的应用不仅于此。笔者在这里只想起到一个抛砖引玉的作用，欢送其他同仁批评指正。