高中数学人教A版第一章三角函数优秀作品.docxVIP

河北武邑中学课堂教学设计

备课人

授课时间

课题

同角三角函数的基本关系(二)

教

学

目

标

知识与技能

会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化简和恒等式的证明．

过程与方法

通过同角三角函数的基本关系的学习，培养三角函数恒等变形的能力，体验化归的思想

情感态度价值观

三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形．在三角恒等式证明的过程中，要注意三角公式的灵活运用．

重点

在三角恒等式证明的过程中，要注意三角公式的灵活运用．

难点

三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形

教

学

设

计

教学内容

教学环节与活动设计

探究点一三角函数式的化简

三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累．

化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式，常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角的三角函数与特殊值互化等．

请按照上述标准化简下列三角函数式：

已知α是第三象限角，化简：eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα)).

原式＝eq\r(\f(?1＋sinα?2,?1－sinα??1＋sinα?))－eq\r(\f(?1－sinα?2,?1＋sinα??1－sinα?))

＝eq\r(\f(?1＋sinα?2,cos2α))－eq\r(\f(?1－sinα?2,cos2α))＝eq\f(1＋sinα,|cosα|)－eq\f(1－sinα,|cosα|)＝eq\f(2sinα,|cosα|).

∵α是第三象限角，∴cosα0.∴原式＝eq\f(2sinα,－cosα)＝－2tanα.

即eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＝－2tanα.

教学内容

教学环节与活动设计

探究点二三角恒等式的证明

证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：

①直接法②综合法③中间量法④分析法⑤比较法

请选用上面的方法，证明三角恒等式eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)，并体会上述方法的应用．

答分析一因为右边分母为cosα，故可将左边式子分子、分母同乘cosα.

分析二由平方关系sin2α＋cos2α＝1移项得cos2α＝1－sin2α，再转化为此例式子．

分析三因为左边分母为1－sinα，故可将右式分子、分母同乘1－sinα.

分析四只需证明左、右两边都与某个中间结果相等，为此可先使它们分母变为相同．

分析五只需证明：左式－右式＝0.

【典型例题】

例1化简eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα))(其中α为第二象限角)．

解原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα))

＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(1,cosα)－1,\f(1,cosα)＋1))

＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))

＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(?1－cosα?2,?1＋cosα??1－cosα?))

＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(?1－cosα?2,1－cos2α))

＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,\r(sin2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|)＝eq\f(sinα,|sinα|)

∵α为第二象限角，∴原式＝1.

教

学

设

计

教学内容

教学环节与活动设计

例2求证：eq\f(2sinxcosx－1,cos2x－sin2x)＝eq\f(tanx－1,tanx＋1).

证明方法一∵左边＝eq\f(2sinxcosx－?sin2x