绵阳文科数学答案.docx

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绵阳市高中2021级第一次诊断性考试

文科数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

BBCADBACBCBC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．714．15．16．1

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（1）由S1，2S2，3S3成等差数列，则4S2=S1+3S3，得3a3=a2， 3分

∴数列{an}的公比q， 4分

由，数列{an}的通项公式； 6分

（2）令，则， 8分

∴当时，， 9分

∴当或4时，Tn取得最大值：． 12分

18．解：（1）∵，

∴，而， 2分

∴，即， 3分

∴的最小正周期为：； 4分

（2）由题意，， 5分

∵，

∴， 7分

∴Z， 9分

∴， 10分

∴的最小值为． 12分

19．解：（1）∵为奇函数，

∴，解得：m=2． 5分

（2）当m0时，2x2+m0，

∴函数不可能有两个零点． 6分

当m0时，由，解得：或m-2， 7分

要使得f(x)仅有两个零点，则， 8分

即，此方程无解．

故m=0，即， 9分

令，则，

，解得：或，解得：，

故在，上递增，在上递减， 10分

又，

故函数仅有一个零点． 12分

20．解：（1）∵cos(C-B)sinA=cos(C-A)sinB

∴(cosCcosB+sinCsinB)sinA=(cosCcosA+sinCsinA)sinB 2分

∴cosCcosBsinA=cosCcosAsinB 3分

又∵△ABC为斜三角形，则cosC≠0，

∴cosBsinA=cosAsinB， 5分

∴sin(A-B)=0，又A，B为△ABC的内角，

∴A=B； 6分

（2）在△ABC中，由（1）知，a=b，

由正弦定理，则， 7分

又，即，

∴，

∴==sin2B-sin22B， 9分

∴=sin2B-sin22B=sin2B-4cos2Bsin2B=sin2B-4(1-sin2B)sin2B， 10分

令sin2B=t，令f(t)=t-4(1-t)t=4t2-3t， 11分

又因为0＜sin2B1，即0＜t1，

∴当t=时，f(t)取最小值，且f(t)min=，

综上所述：的最小值为． 12分

21．解：（1）方法一：， 1分

因为在上单调递增，

∴恒成立，

故：当时，恒成立． 3分

设，则，

则，

易知，所以，

故令得到：；令得到：．

∴在上递减；在上递增． 5分

故：当时，．

∴实数a的取值范围：． 6分

方法二：，

因为在上单调递增，所以恒成立，

等价于：在上恒成立， 2分

设，则，

，

当时，，

∴在上递减，，符合题意． 3分

当时，易知在上递减，在上递增，在上递减，

因为，

故只需满足（由易得），符合题意． 4分

当时，易知在(1，a)上递减，在(a，2)上递增，在上递减，

因为，故只需满足，即，

当时，易知在(1，2)上递增，在上递减， 5分

，不符合题意．

综上：实数a的取值范围：． 6分

（2）的极值点个数等价于的变号零点个数，

令，则等价于的变号零点个数， 7分

当时，；当时，，

由（1）可知，，

当时，易知在上递减，故有唯一变号零点1； 8分

当时，易知在上递减，在上递增，在上递减，

因为，，故有唯一变号零点1；

当且时，易知在上递减，在(a，2)上递增，在上递减， 9分

，，

若，即时，有唯一变号零点1； 10分

若，即且时，有三个变号零点1，，，

且。

当时，易知在上递减，

在(1，2)上递增，在上递减， 11分

由于，，有唯一变号零点，且.

综上：当且时，有三个极值点；

当或时，有唯一极值点． 12分

22．解：（1）曲线C1的参数方程为C1：（t为参数），

由得C1的普通方程为：； 2分

曲线C2的参数方程为C2：（为参数），

所以C2的普通方程为：； 4分

（2）曲线C1的极坐标方程为：， 5分

∴， 6分

由得：，

∴射线：与曲线C1交于A， 7分

曲线C2的极坐标方程为，

由得：，

∴射线：与曲线C2交于B， 9分

则==． 10分

23．解：（1） 1分

∴， 2分

解得， 4分

∴不等式的解集为； 5分

（2）证明：由，可得的最小值为， 6分

则，，

∴

7分

8分

，当且仅当时，等号成立， 9分

∴． 10分