高中数学人教A版第一章三角函数市赛获奖.docxVIP

河北武邑中学课堂教学设计

备课人

授课时间

课题

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

教

学

目

标

知识与技能

了解周期函数、周期、最小正周期的定义．

过程与方法

会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期

情感态度价值观

掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．

重点

判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”

难点

会判断简单三角函数的奇偶性

教

学

设

计

教学内容

教学环节与活动设计

探究点一周期函数的定义

一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

(1)证明函数y＝sinx和y＝cosx都是周期函数．

(2)满足条件：f(x＋a)＝－f(x)(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由．

如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期．

周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z，且k≠0)一定也是周期．例如，正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的最小正周期都是，它们的所有周期可以表示为：．

(2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”，即存在某些周期函数，这些函数没有最小正周期．请你写出符合上述特征的一个周期函数：.

教学内容

教学环节与活动设计

(3)证明函数的最小正周期常用反证法．下面是利用反证法证明2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期的过程．

请你补充完整．

证明：由于2π是y＝sinx的一个周期，设T也是正弦函数y＝sinx的一个周期，且，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有.令x＝eq\f(π,2)，代入上式，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋T))＝sineq\f(π,2)＝1，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋T))＝，所以.

另一方面，当T∈(0,2π)时，，这与矛盾．故2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期．

同理可证，余弦函数y＝cosx的最小正周期也是2π.

探究点三函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)的周期

证明eq\f(2π,|ω|)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期．

探究点四正、余弦函数的奇偶性

从函数图象看，正弦函数y＝sinx的图象关于对称，余弦函数y＝cosx的图象关于对称；从诱导公式看，sin(－x)＝，cos(－x)＝均对一切x∈R恒成立．所以说，正弦函数是R上的函数，余弦函数是R上的函数．

【典型例题】例1求下列函数的周期．

(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)；

(2)y＝cos(1－πx)(x∈R)；

(3)y＝|sinx|(x∈R)．

教

学

设

计

教学内容

教学环节与活动设计

小结对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T＝eq\f(2π,|ω|)来求解，对于y＝|Asinωx|的周期情况常结合图象法来求解．

例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sinx，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))的值．

小结解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内．

例3判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；

(3)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx).

小结判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系．

教