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下一页;§1 定积分的概念;a;;;n=10情况;n=50情况,S(50)=0.6717;S(100)=0.6717;F(x);将这种方法用于一般的曲边梯形：;曲边梯形面积的近似值为;变力作功问题可表示为;四．小结：

学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念

的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的长方形去近似代替小曲边

梯形，以“直”代“曲”；然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面

积的一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值，即

，这时又从“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取极限”是定积分的核心

思想。;观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;应该说定积分的思想最早产生于中国，三国时候;牛顿（I.Newton1642.12.25—1727.3.3）

英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了，三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位，1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703年被选为英国皇家学会会长。牛顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础。他的巨著

《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可惜他晚年研究神学，走了弯路。;黎曼（B.Riemann1826.9.17-1866.7.20）

德国数学家，出生在德国一个乡村牧师家庭，在哥廷根大学和柏林大学学习，1851年获博士学位1859年任教授，1886年因肺结核去世。他四十年的生涯中，在数学许多分支，都作出了划时代贡献。他在1851年的博士论文“复变函数论的基

础”

给出了保角影射的基本定理，是几何函数论的基础，1854年定义了黎曼积分，又提出了关于三角级数收敛的黎曼条件。

同年在他的另一篇论文中引入n维流形和黎曼空间的概念，并定义了黎曼空间的曲率，开辟了几何学的新领域。1857年他在关于阿贝尔函数的论文中，引入了黎曼面概念，奠定了复变函数的几何理论基础，1858年他关于素数分布的论文，用黎曼函数论述了素数的分布，开辟了解吸函数论。在此论文中还提出了柯西函数零点分布的黎曼猜想，至尽还未解决。他在非欧几何、偏微分方程、理论物理、椭圆函数论等方面都有杰出贡献，不愧是一位具有开拓精神的伟大数学家。;小知识：中国古代数学对微积分创立的贡献

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关

系

。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小

（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的

割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3.1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高