第5章 二次函数（压轴必刷30题2种题型专项训练）（解析版）.docxVIP

第5章二次函数（压轴必刷30题2种题型专项训练）

一．二次函数的应用（共3小题）

1．（2023?建湖县三模）秀夫初中全校师生为学校修建植物园群策群力．九年级设计小组为更合理地利用空间，将计划种植各种树木的矩形空地一边靠墙（可利用的墙长不超过18米），另外三边由36米长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x米，面积为y米2，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若矩形空地的面积为160米2，求x；

（3）若学校用8600元购买了甲、乙、丙三种树木共400棵（每种树木的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种树木最多可以购买多少棵？此时，这批树木可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

甲

乙

丙

单价（元/棵）

14

16

28

合理用地（米2/棵）

0.4

1

0.4

【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；

（2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意；

（3）利用二次函数的性质求出y的最大值，设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，可得a+7b＝1500，推出b的最大值为214，此时a＝2，再求出实际植物面积即可判断；

【解答】解：（1）y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x（9≤x＜18），

（2）由题意：﹣2x2+36x＝160，

解得x＝10或8．

∵x＝8时，36﹣16＝20＞18，不符合题意，

∴x的值为10．

（3）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，

∴x＝9时，y有最大值162，

设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，

由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，

∴a+7b＝1500，

∴b的最大值为214，此时a＝2，

需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2＜162，

∴丙种植物，最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

2．（2023?海安市模拟）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝

（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？

（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？

（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？

【分析】（1）把y＝220代入y＝10x+100，解方程即可求得；

（2）根据图象求得成本P与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；

（3）根据（2）得出m+1＝15，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可

【解答】解：（1）若20x＝220，则x＝11，与0≤x≤5不符，

∴10x+100＝220，

解得，x＝12，

故第12天生产了220顶帽子；

（2）由图象得，

当0≤x≤10时，P＝5.2；

当10＜x≤20时，设P＝kx+b（k≠0），

把（10，5.2），（20，6.2）代入上式，得

，

解得，，

∴P＝0.1x+4.2

①0≤x≤5时，w＝y（8﹣P）＝20x（8﹣5.2）＝56x，

当x＝5时，w有最大值为w＝280，

②5＜x≤10时，w＝y（8﹣P）＝（10x+100）（8﹣5.2）＝28x+280，当x＝10时，w有最大值，最大值为560（元）；

③10＜x≤20时，w＝y（8﹣P）＝（10x+100）[8﹣（0.1x+4.2）]＝﹣x2+28x+380，

当x＝14时，w有最大值，最大值为576（元）．

综上，第14天时，利润最大，最大值为576元．

（3）由（2）小题可知，m＝14，m+1＝15，设第15天提价a元，由题意得

w＝y（8+a﹣P）＝（10x+100）[8+a﹣（0.1x+4.2）]＝250（2.3+a），

∴250（2.3+a）﹣576≥49，

∴a≥0.2．

答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元．

【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．

3．（2023春?江都区月考）某企业生产并销售某种产品