裂项相消与放缩法解数列专题.docx

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一、裂项求和法

数列专题3

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：

数列。

常用裂项形式有：

1 ，{a

an?an?1

}是d?0的等差

n

1 ?1? 1 ； 1

?1(1?

1 )；

(2n)2

?1?

1( 1 ?

1 )；

n(n?1) n n?1

n(n?k) k n n?k

(2n?1)(2n?1) 2 2n?1 2n?1

1 ?1[ 1 ? 1 ]；

n(n?1)(n?2) 2 n(n?1) (n?1)(n?2)

a? ba1 ?

a? b

a

n?1na

n?1

n

? b)；

n?k? nn

n?k? n

n?k

k

? n)特别地： 1 ? ?

n?

n?1? n

将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。

常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：

①?n

a?k（k为常数）；②?n

i

a?f(n)；③?n

i

a?f(n)；④?n

i

a?k（k为常数）.

i

i?1 i?1 i?1 i?1

放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型

a2?

a2?1

n(n?1)

添加或舍去一些项，如：

将分子或分母放大（或缩小）

?a； ?n

①1 ? 1

? 1 ?1

； 1 ? 1

?1?

1

（程度大）

n2 n(n?1) n?1 n n2 n(n?1) n n?1

②1 ? 1 ? 1 ?

1( 1 ?

1 )(n?2)（程度小）

n2 n2

?1 (n?1)(n?1) 2 n?1 n?1

③ 1 ? 1

? 1 ???1 ?

1 ? 1

??? 1

? n ?1

n?1 n?2 n?3 2n n?1 n?1 n?1 n?1

或 1 ?

1 ? 1

???1 ?

1 ?1

??? 1 ?

n ?1

nn?1 n?2 n?3 2n 2n 2n 2n 2n 2

n

2④1? 1

2

? 1 ??? 1

n3

n

? 1 ? 1

??? 1

? n ?

nnnn1⑤平方型： ? 4 ?

n

n

n

n

1

4 ?2( 1 ? 1 )；

n2 4n2

4n2?1 2n?1 2n?1

1 ? 1 ? 1 ?1( 1 ?1)

(2n?1)2 4n2?4n 4n(n?1) 4 n?1 n

1⑥立方型： ?

1

1 ?1[ 1

? 1 ](n?2)

n3 n(n2

?1) 2 (n?1)n n(n?1)

1⑦指数型： ??1

1

(a?b?1)； 1 ??1

(a?b?1)

an?bn an?1(a?b) an

⑧k

⑧

k?1

b an?1(a?b)

kk?1? k2 k15

k

k?1? k

2 k

15

16

n?(n?1) lg3?lg5

⑨利用基本不等式，n(n?1)? ，如：log3?lg5?( )2

2 2

?lg

?lg

?lg4

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（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列

1 1 1 1

例如：（1）求证：

?

2 22

? ???

23 2n

?1(n?N*).

1 1 1 1

求证：

?

2?1 22

?

?1 23

???

?1 2n

?1?1(n?N*).

1 2 3 n

求证：

?

2?1 22

?

?2 23

???

?3 2n

?n?2(n?N*).

总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若?na

i

i?1

可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，

一般要先将通项a

n

放缩后再求和.

问题是将通项a

n

放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的b

n

才行呢？其实，能求和的常见数列模

型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等.实际问题中，b

n

大多是等比模

型或裂项相消模型.

先求和再放缩