图形图像学基础12Bezier曲线（53页）.pptx

上节回顾

?曲线的参数表示：rx=x(t),

、y=y(),^[oj]

z=z(r),

?曲线上一点坐标的参数表示：

P(0=[x(f)y⑴Z(r)]

?曲线上一点的导矢量：

pXt)=[x\t)作)];上节回顾;上节回顾

?一条三次代数曲、线的代数形式;?pq点式曲线;Bezier曲线

?给定空叫中n+1个点的位置矢S（控制点），构造条n次曲线（曲线次数M控制点个_1关）

?n+1个控制点构成由n条边组成的折线集，称为控制多边形

?控制多边增起点、终点和曲线起点、终点重合。

?控制多边形第一条边和最后一争边表绝曲线起点、终点处切冋量方向。

?M线形状趋向于控制多边形形状。;Bezier曲线插值公式;Bezier曲线的性质(I);Bezier曲线的性质(II);Bezier曲线的性质(II);Bezier曲线的矩阵表示⑴;Bezier曲线的矩阵表示(II);Bezier曲线的矩阵表示(III);Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(I);Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(II)?⑴和(2)带入⑶得：

=(I-+M;Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(III);p;Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(V)?由此得到Bezier|H|线的递推计算公式：

t=(卜0

+七=1，2，…，j=0,1，…，n-k

?Pf是第i个控制APi

??911是0次Bezier曲线上的点

?用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点C(t)非常有效。;例子：n=3时，用deCasteljeu算法求3次Bezier曲线上的点;0;Bezier曲线的拼接;-零阶几何连续条件

-一阶几何连续条件

pm=Qo

3v?〉()n=a(ere0)

三点共线，且在连接点的异侧

-二阶几何连续条件？;反求Bezier曲线控制点

给定n+1个型值点，耍求构造一条Bezier曲线通过这些点

Qo=

Q,-i-i/ny+扣(1-/d，)+?-+p?c：(i/ny

Q。-e,;Bezier曲线的升阶⑴;（i=CU,…，乃+1）;Bezier曲线的不足;Bezier曲线;Bezier曲线的矩阵表示⑴;Bezier曲线的矩阵表示(II);Bezier曲线的矩阵表示(III);Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(I);Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(II)?⑴和(2)带入⑶得：

=(I-+M;Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(III);p;Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法(V)?由此得到Bezier|H|线的递推计算公式：

t=(卜0

+七=1，2，…，j=0,1，…，n-k

?Pf是第i个控制APi

??911是0次Bezier曲线上的点

?用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点C(t)非常有效。;例子：n=3时，用deCasteljeu算法求3次Bezier曲线上的点;0;Bezier曲线的拼接;-零阶几何连续条件

-一阶几何连续条件

pm=Qo

3v?〉()n=a(ere0)

三点共线，且在连接点的异侧;反求Bezier曲线控制点

给定n+1个型值点，耍求构造一条Bezier曲线通过这些点Q,-i/ny+扣（1-”广1/，）+?-+p?c：（i/ny

-e,;B样条曲线;为了兑服Bezier曲线存在的M题，Gordon等人拓展了Bezier曲线，就外形设计的需求出发，希望新的曲线要：

易于进行局部修改；

更逼近特征多边形；

是低阶次曲线。

于是，mn次B样条基函数替换了伯恩斯坦越函数，构造了称之为B样条曲线的新型曲线。;2.B样条曲线的数学表达式

B样条曲线的数学表达式为：

P“，i(’)~〉:Pi+kFkn(O

k-O

在上式中，i=0,1,2,m

所以川■以看出：B样条曲线是分段定义的。如果给定m+n+1个顶点Pi,则可定义m+1段n次的参数曲线。;在以上表达式中：

Fkn(t)为n次B样条基函数，也称B样秦分段混合函数。其表达式为：

式屮：0彡t彡1，k=0，1,2,…，n;n次B样条曲线

连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线。

B特征多边形

依次段连接点Pi+k(k=OtV.+，n)所组成的多边折线称为B样条曲线在第i段的B特征多边