第14讲 分式方程及其应用（考点定位讲练）-八年级数学上学期期中期末考试满分攻略（人教版）解析版.docx

第14讲分式方程及其应用考点定位精讲讲练

一、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．

二、分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．

（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．

注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．

三、增根

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．

注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．

四、分式方程的应用

（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．

每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．

（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．

考点一：分式方程识别

【例1】（2021·铜仁一中实验学校）下列关于x的方程：①，②，③，④中，分式方程有（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】C

【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知量的方程叫做分式方程进行判断

【详解】解：关于x的方程①，方程分母中不含未知数，不是分式方程．

关于x的方程②，方程分母含有未知数，是分式方程．

关于x的方程③，方程分母中含有未知数，是分式方程．

关于x的方程④中，方程分母中不含未知数，不是分式方程．

综上，是分式方程的有②、③，共2个．故选C．

【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．

【变式1-1】．（2020·无锡市第一女子中学八年级期中）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分式方程的定义即可求出答案．

【详解】A、是一元一次方程，故不符合题意；B、是一元一次方程，故不符合题意；

C、是分式方程，故符合题意；D、是二元一次方程，故不符合题意；故选C．

【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，本题属于基础题型．

【变式1-2】（2020·佛山市南海石门实验中学初二月考）下列方程：①；②；③；④；⑤．其中是分式方程的是()

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④

【答案】D

【分析】根据分式方程的概念逐一判断即可．

【解析】分式方程的概念是：含有分式的方程；分式的定义是分母含有未知数的式子；结合分式的定义以及分式方程的概念课判断①中不含有分式，故错误；②是分式方程；③是分式方程；④是分式方程；⑤中不含有分式；综上是分式方程的有②③④．故选：D．

【点睛】本题主要考察关于分式方程的概念，解题的关键是掌握分式方程的基本定义即可．

考点二：解分式方程

解题技巧：分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．

【例2】（2021·山东省泰安第十五中学八年级月考）方程的根为________________．

【答案】

【分析】去分母化成整式方程，解方程检验后，即可得到分式方程的解．

【详解】解：去分母得：x=2x-2，解得：x=2，

检验：当x=2时，x-10，∴x=2是原分式方程的解．故答案为：x=2．

【点睛】本题考查了解分式方程，正确去分母把分式方程转化为整式方程是解决问题的关键．

【变式2-1】（2021·厦门双十中学海沧附属学校）观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．

【答案】x=n+4或x=n+5

【分析】根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可．

【详解】解：，解得：或；，解得：或；

，解得：或；得到规律，的解为：或；

所求方程整理得：，根据规律得：或，

解得：x=n+4或x=n+5故答案为：x=n+4或x=n+5

【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清楚题中的规律是解本题的关键．

【变式2-2】（2021·江苏扬州市·八年级期末）（1）化简分式：；

（2）判断方程是否有解？_____（填