第13讲 等式性质、不等式性质 (原卷版）（暑假初升高数学衔接课程（基础版，全国通用））.docx

【高中新知识预习篇】

第13讲等式性质、不等式性质

一、基本知识及其典型例题

知识点一不等式的概念

1.不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子，如，等．

用“”或“”连接的不等式叫严格不等式，用“”或“”连接的不等式叫非严格不等式．

2.不等关系的分类

不等关系

不等式

a大于b

a＞b

a小于b

ab

a不大于b（小于或等于）

a≤b

a不小于b（大于或等于）

a≥b

【例1】某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是()

A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z45))Beq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y380，,z≥45))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x95，,y380，,z45)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y380，,z45))

【变式1】（1）用不等式(组)表示不等关系)某写字笔原以2.5元/支的价格销售，可以售出8万支.据市场调查，若单价每减少0.1元，销售量就可能相应增加1.5万支.若把减价后写字笔的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于100万元呢？

（2）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价为60元的键盘和单价为70元的鼠标.根据需要，键盘至少买3个，鼠标至少买2个。设购买键盘和鼠标分别为x个，y个，请写出满足上述所有不等关系的不等式.

知识点二比较大小

1.作差法比较大小（比较大小的基本思想）

依据：

步骤:作差→变形→判断符号→确定大小.

注：作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形（常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式）．变形的过程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性．

2.作商法比较大小

依据：

【例2】若实数，比较两式大小：______

【变式2】已知，则，，则和的大小关系正确的是（）

A． B． C． D．与和的取值有关

【例3】已知，，试比较与的大小；

【变式4】设，比较与的大小

【例5】已知且，试比较与的大小．

【变式5】比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:

（1）2x23与x2，x∈R；

（2）a2与，a∈R，且a≠1.

知识点三不等式的基本性质

性质1

（对称性）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b．即a＞bb＜a

性质2

（传递性）如果a＞b，b＞c，那么a＞c．即a＞b，b＞ca＞c

如果c＜b，b＜a，那么c＜a．即c＜b，b＜ac＜a

性质3

（可加性）如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．即a＞ba＋c＞b＋c

（推论：移项法则）如果a＋b＞c，那么a＞c－b．即a＋b＞ca＞c－b

性质4

（可乘性）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc

性质5

（同向可加性）如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d

性质6

（同向同正可乘性）如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd

性质7

（可乘方性）如果，那么an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．

性质8

（可开方性）如果，那么n∈N，n≥2)．

【例6】（多选题）下列四个命题是真命题的是()

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若且，则

【变式6】下列命题中,正确的是（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【例7】已知ab0，c0，求证：eq\f(c,a)eq\f(c,b).

【变式7】求证：.

【例8】设，则的大小顺序是______．

【变式8】设，，则与的大小关系是________．

【例9】日常生活中，在一杯含有克糖的克糖水中，再加入克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.

【变式9】甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地．

二、检测过关

二、检测过关

1．不等式的解集为()

A． B．

C． D．

2．若实数，，，满足，，则下列不等式成立的是（）

A． B．

C． D．

3．若，，则的大小关系是（）

A． B．

C．