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谋事在人，成事在天！——《增广贤文》
龙源期刊网
关于二元函数极限的求法的探讨
作者：马晨
来源：《活力》2013年第21期
[关键词]二元函数；函数的极限；洛必达法则；连续性
二元函数极限的定义：设f为定义D
R2上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是一个确定的实数。若对任给正数ε，总存在
某正数δ，使得当P∈U0（P0；δ）∩D时，都有|f（P）-A
当P，P0分别用坐标（x，y），（x0，y0）表示时，上式也常写作。
1二元函数极限不存在的判别法
1.1二重极限存在是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，函数都无限接近于
A，因此，如果P（x，y）以某一特殊方式例如沿着一条直线趋于P0（x0，y0）时，即使函数
无限接近于某一确定值，还不能由此断定函数极限的存在，但如果当P（x，y）以不同方式趋
于P0（x0，y0）时，函数值趋于不同的值，则可断定这个函数当x→x0，y→y0时极限不存
在。
解：当动点（x，y）沿着直线y=mx而趋于定点（0，0）时，由于此时，因而有，这一
结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不相等，因此所讨论的极限
不存在。
1.2二重极限与累次极限没有必然的联系。由定理知若累次极限与二重极限都存在时则三
者必相等。由此可推出若累次极限都存在但不相等时二重极限必不存在
解：，两个累次极限存在但不相等所以二重极限
不存在。
2二元函数极限的计算方法
2.1利用二元函数极限的定义求解
2.2利用极限的四则运算法则求解
谋事在人，成事在天！——《增广贤文》
人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。——《顾炎武》
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二元函数与一元函数有着类似的运算法则，利用函数极限的迫敛性与四则运算的混合我们
就可以将一些复杂的函数极限计算问题转化成简单的函数极限运算，下面我们举一个二元函数
求极限过程中运用到四则运算法则的例子。
2.3将二元极限化为一元极限的求法
依据函数f（x，y）的特殊类型，利用两个变量x，y的和x+y=t，平方和x2+y2=t及乘积
xy=t等做变换，将二元函数f（x+y）求极限的问题，整体或部分转化为一元函数求极限的问
题。
（1）当x→∞，y→a（a≠0常数）时，二元函数f（x，y）的极限做变换xy=t，相应的有
t→∞，利用已知一元函数的极限公式再继续计算。
（2）x→∞，y→∞时二元函数的极限也可转化为一元函数的极限
2.4利用连续性求极限
二元初等函数在定义域内都是连续的。由二元函数极限的定义可知，若f为二元初等函
数，P0（x0，y0）是函数f定义域内的一点，则
例6求解
解：因为在（0，1）点连续，所以极限值等于函数值等于1，所以极限值为1。
2.5利用无穷小量的性质
一元函数关于无穷小量的某些结论对二元函数同样适用，例如无穷小量的倒数是无穷大
量，等价无穷小替换，无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量
解：因为当x→0，y→0时，x3+y3→0，sin（x3+y3）～x3+y3，所以该极限
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