苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第04讲 微专题一 全等三角形的公共边、公共角、边边角及X模型（教师版）.docxVIP

微专题一全等三角形的公共边、公共角、边边角及X模型

模型一：公共边模型

全等三角形中，公共边模型是指在证明两个三角形全等时，有一条边是公共边，其常见类型为：

①利用三角形的高线，作为公共边（如图）

如图在?ABC中，AD⊥BC，我们可以得到∠ADB=∠ADC,AD=AD(公共边)，此时如果要证?ADB??ADC，已经有了一组角和一组边对应相等，如果此时BD=DC，可以利用SAS，证明三角形全等；如果此时∠B=∠C，则可用AAS，证明三角形全等。

②利用三角形的中线，作为公共边（如图）

如图在?ABC中，BD=CD，在?ADB和?ADC中我们可以得到BD=CD,AD=AD(公共边)，此时如果要证?ADB??ADC，已经有了两组边对应相等，如果此时AB=AC，可以利用SSS，证明三角形全等；如果此时∠ADB=∠ADC，则可用SAS，证明三角形全等。

③利用三角形的角平分线，作为公共边（如图）

如图在?ABC中，∠BAD=∠CAD，在?ADB和?ADC中我们可以得到∠BAD=∠CAD,AD=AD(公共边)，此时如果要证?ADB??ADC，已经有了一组角和一组边对应相等，如果此时AB=AC，可以利用SAS，证明三角形全等；如果此时∠ADB=∠ADC，则可用ASA，证明三角形全等。

【典例1】如图，在中，是的平分线，，垂足为D，求证：．

【答案】见解析

【分析】根据角平分线的定义可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后根据直角三角形两锐角互余列出等式解答即可．

【详解】证明：是的平分线，

，

由三角形的外角性质得，，

，

，

∴，

，

，

．

模型二：公共角模型

全等三角形中，公共角模型是指在证明两个三角形全等时，有一个角是公共角，其常见类型为：

如图在?ABC中，AB=AC，在?ADE中，AD=AE，∠BAC=∠DAE,∠3=∠3，可以得到：∠1=∠DAE-∠3，∠2=∠BAC?∠3?∠1=∠2，此时我们可以得到：?ADB??AEC。

【典例2】在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由；

（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由．

【答案】（1）BC⊥CE，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立

【分析】（1）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠4=∠5，求出∠4=∠6=45°，∠5=45°即可；

（2）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，求出∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=135°即可；

（3）先证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，再求∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=45°．

【详解】解：（1）BC与CE的位置关系是BC⊥CE，理由是：

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，

即∠2=∠3，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠4=∠5，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠4=∠6=45°，

∴∠5=45°，

∴∠BCE=∠5+∠6=45°+45°=90°，

即BC⊥CE；

（2）成立.理由是：

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，

即∠2=∠3，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABD=∠ACE=135°，

∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°，

即BC⊥CE；

（3）成立

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABD=∠ACE=45°，

∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°．

模型三：边边角模型

全等三角形中，边边角模型是指在证明两个三角形全等时，有一组角相等和一组对应边相等（通常为角平分线），其常见类型为：

如图AD平分∠BAC，得到∠BAD=∠CAD，AD=AD，只需AB=AC即可得到?ADB??ADC。

【典例3】如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°