第13讲 等腰三角形性质及判定（原卷版）-八年级数学上册课堂讲义（人教版）.docx

学科教师辅导教案

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教学内容

等腰三角形性质及判定

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

要点三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关度数的计算题

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

举一反三：

【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

求∠B的度数．

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

举一反三：

【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8，且|AC－BC|＝2，那么腰AC的长为()．

A．10或6B．10C．6D．8或6

1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为()．

A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°

举一反三：

【变式】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

类型三、等腰三角形性质和判定综合应用

4、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF

并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．

求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．

举一反三：

【变式】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．

(1)求证：BE＝AD；

(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；

(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由．

3、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.

求证：AF＝EF

举一反三：

【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．

求证：AC＝BF．

4、如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：BE＝AD.

举一反三：

【变式】已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M.

求证：AM＝(AB＋AC)．

类型四、等腰三角形的操作题

2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？

（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：

（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：

举一反三：

【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，

探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．

【巩固练习