苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第10讲 等腰三角形的轴对称性（教师版）.docxVIP

轴对称图形

2.5等腰三角形的轴对称性

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课程标准

课标解读

1.掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．

2.掌握等腰三角形的判定定理．

3.熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．

1.理解等腰三角形是轴对称图形

2.掌握等边对等角的性质

3.掌握“三线合一”的性质

知识精讲

知识精讲

知识点01等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

【微点拨】

等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.

【即学即练1】如图，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P，且AD＝AE，连接AP．

(1)求证：AP平分∠DAE；

(2)连接BC，求证：△ABC为等腰三角形．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据AD＝AE，AP＝AP，利用HL可证得△ADP≌△AEP，即可求证；

（2）根据∠APD＝∠APE，可得∠APB＝∠APC，可证得△ABP≌△ACP，可得AB＝AC，即可求证．

【详解】(1)证明：∵BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，

∴∠ADP＝∠AEP＝90°，

∵AD＝AE，AP＝AP，

∴△ADP≌△AEP（HL），

∴∠DAP＝∠EAP，

∴AP平分∠DAE；

(2)证明：由（1）得∠APD＝∠APE，

∵∠BPD=∠CPE，

∴∠APB＝∠APC，

又AP＝AP，∠DAP＝∠EAP，

∴△ABP≌△ACP（ASA），

∴AB＝AC，

∴△ABC为等腰三角形．

知识点02等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

【即学即练2】如图，AD⊥BC，AD＝BD，∠C=70°，求∠BAC的度数．

【答案】∠BAC=65°

【分析】先根据△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD求出∠BAD的度数，再由∠C=70°求出∠CAD的度数，进而可得出结论．

【详解】解：∵△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，

∴∠BAD=45°，

∵∠C=70°，

∴∠CAD=90°-70°=20°，

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+20°=65°．

知识点03等腰三角形的判定

1.对应顶点，对应边，对应角定义

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

【微点拨】

等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【即学即练3】如图，在中，，点D在边上，过点D作，，且．

(1)若，求的度数；

(2)求证：．

【答案】(1)；(2)证明见解析

【分析】（1）由题意易证≌，即得出；

（2）根据等角对等边即可证明．

【详解】(1)∵在和中

，

∴≌，

∴，

∴；

(2)∵，

∴AB=AC．

能力拓展

能力拓展

考法01等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

【典例1】如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，．

(1)求度数；

(2)求的周长．

【答案】(1)20°；(2)22

【分析】(1)由等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出∠CAD度数；

(2)由平行线的性质及等腰三角形性质可得到AM=NM，则求△BMN的周长可转化成求线段AB和线段BN的和，由题中给出的条件即可求出结果．

【详解】(1)解：∵，

∴是等腰三角形，

又∵，

∴，

又∵为的中点，

∴平分，

∴，

故度数为20°；

(2)解：∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴的周长，

∵，，

∴的周长=16+6=22．

故的周长为22．

考法02等腰三角形的判定

判定方法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形

在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰