第13讲 等腰三角形性质及判定（含答案析）-八年级数学上册课堂讲义（人教版）.docx

学科教师辅导教案

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教学内容

等腰三角形性质及判定

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

要点三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关度数的计算题

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

【答案与解析】

解：∵AB＝AC

∴∠B＝∠C

∵AB＝BD

∴∠2＝∠3

∵∠2＝∠1＋∠C

∴∠2＝∠1＋∠B

∵∠2＋∠3＋∠B＝180°

∴∠B＝180°－2∠2

∴∠2＝∠1＋180°－2∠2

∴3∠2＝∠1＋180°

∵∠1＝30°

∴∠2＝70°

【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.

举一反三：

【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

求∠B的度数．

【答案】

解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

∴设∠ECD＝∠EDC＝，∠BCD＝∠BDC＝，

则∠AED＝∠ADE＝2，∠A＝∠B＝180°－4

在△ABC中，根据三角形内角和得，

＋＋180°－4＋180°－4＝180°①

又∵A、D、B在同一直线上，∴2＋＋＝180°②

由①，②解得＝36°

∴∠B＝180°－4＝180°－144°＝36°.

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.

【答案与解析】

解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：

两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，

又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，

故每个底角的度数；

(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，

则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．

∴其余各角为70°，70°或40°，100°．

【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.

3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

【答案与解析】

解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；

(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长．

这样得两组：①3，3，7②5，5，3．

而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．

∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．

【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证