专题1.1 等腰三角形（教师版）.docxVIP

专题1.1等腰三角形

1.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，并应用他们解决基本的几何问题；

2.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质；

3.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；

4.学习等边三角形的性质与判定定理，并能够运用其解决问题；

5.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；

6.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题。

知识点01等腰三角形的性质及其推理

【知识点】

定理：等腰三角形的两个底角相等.简述：等边对等角。

推论：等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的高互相重合(三线合一)。

补充：1）等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等；

2）过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等；

3）两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等。

【知识拓展1】利用等边对等角计算角度

例1．（2022·安徽芜湖·九年级统考期末）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为且点在小量角器上对应的刻度为，那么点在大量角器上对应的刻度为只考虑小于的角(????)

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接，，如图，先根据得到，然后根据三角形内角和求出即可．

【详解】解：连接，，如图，

在小量角器上对应的刻度为，即，

而，，，

即点在大量角器上对应的刻度为只考虑小于的角．故选：A．

【即学即练】

1．（2022春·成都市·八年级期中）如图，已知，…，以此类推，若，则______．

【答案】

【分析】根据三角形内角和，等边对等角，三角形的外角可得；同理可得，，，即可找到规律得出答案．

【详解】解：∵在中，，，∴

∵，是的外角，∴；

同理可得，，，∴．故答案为：．

【点睛】本题考查三角形内角和定理，等边对等角，三角形的外角的性质，正确找到规律是解题的关键．

【知识拓展2】等腰三角形的性质：“三线合一”求角度

例2．（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，在中，，平分，，则的度数为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质：三线合一即可知

【详解】∵，∴是等腰三角形，且平分，

∴，，∴，∴，故选：C

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：三线合一求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键

【即学即练】

2．（2022春·辽宁大连·八年级期末）如图，在中，，D为的中点，，，求的度数．

【答案】

【分析】利用等边对等角，三线合一和三角形的内角和定理，进行求解即可．

【详解】解：∵，D为的中点，

∴，，∴，

∵，∴，

∴．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，是解题的关键．

【知识拓展3】等腰三角形的性质：“三线合一”求长度

例3．（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是边上除，点外的任意一点，则____．

【答案】

【分析】过点A作于点D，由勾股定理可得，，再由求解即可得到答案．

【详解】解：如图，过点A作于点D，

∵，，

∴，，，

∴

．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了勾股定理和三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

【即学即练3】

3．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，平分．若，，则的周长为（????）

A．11 B．14 C．16 D．18

【答案】D

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到，即可求出答案．

【详解】解：∵，平分．∴，

∴的周长为，故选：D．

【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质：底边上的中线、高线及顶角的平分线是同一条线，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．

【知识拓展4】

例4．

【即学即练4】

4．

知识点02等腰三角形的判定

【知识点】

有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).

等腰三角形的判定方法：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义法)

②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．

【知识拓展1】网格中的等腰三角形个数判断

例1．（2022春·浙江衢州·八年级校联考期中）如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点，使为等腰三角形，则这样的顶点有（）

A．9个 B．8个 C．7个 D．6个

【答案】B

【分析】当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，分别找到格点即可求解．

【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可