几个函数模型的比较高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册.pptx

第8章函数应用

8.2函数与数学模型

函数可以刻画事物变化过程中有依赖关系的两个变量之间的关系，我们能运用函数的概念与性质有效地解决问题.例如，要研究气温的变化规律，从气象台温度记录仪上收集到如下信息(图8-2-1)，怎样来研究气温的变化状况呢?

我们是这样来研究的：(1)分别用数(数量)T(单位：℃)，(单位：h)来刻画温度和时间的状态，就得到两个数集，例如，t的范围为[0，24]，T的范围为[－2，9].

●不同的数学模型之间有什么区别?●怎样建立函数模型去解决实际问题?

8.2.1几个函数模型的比较

不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，不同函数的“变化趋势”也不同.对不同函数的“变化趋势”的研究和比较，可以加深我们对自然现象的理解.

例1(1)用计算器或计算机计算下列各值：1.012，1.013，1.014，0.992，0.993，0.994.解：1.012＝1.0201，0.992＝0.9801，1.013＝1.030301，0.993＝0.970299，1.014＝1.04060401，0.994＝0.96059601.猜测一下，1.01365大概是多少?0.99365大概是多少?

(2)用计算器或计算机计算下列各值：1.12，1.13，1.14，0.9，0.92，0.94.猜测一下，1.1100大概是多少?1.1260大概是多少?猜测一下，0.9100大概是多少?0.91000大概是多少?解：1.12＝1.21，0.92＝0.81，1.013＝1.030301，0.993＝0.970299，1.014＝1.04060401，0.994＝0.96059601.

(3)用计算器或计算机计算一下(1)(2)中的结果，与你的猜测进行比较，谈谈你对“指数爆炸”的理解.解：1.01365≈37.8，0.99365≈0.03，1.1100≈13781，0.9100≈2.656×10－5，1.1260≈57822669934，0.91000≈1.748×10－46.

一、“指数爆炸”的含义：指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)随着x的增大a＞1时y______，且增大的速度越来越_____，呈“______”的趋势0＜a＜1时y_______，并逐步趋向于______增大快爆炸减小0

例2(1)在同一个直角坐标系中画出下列4个函数在区间(0，＋∞)上的图象：y＝2x，y＝x2，y＝x0.5，y＝log2x.结合这4个函数的图象，比较它们随着x的增大函数值增长的快慢，并指出：当x的值足够大(x＞16)的时候，这4个函数的值的大小关系；

解这4个函数的图象如图8-2-2所示.

由图8-2-2可知：当0＜x＜2时，0＜x＜2＜4；当x＝2时，2x＝x2＝4；当2＜x＜4时，4＜2＜x＜16；当x＝4时，2x＝x2＝16；当x＞4时，16＜x2＜2.对应地，当0＜x＜4时，0＜log2x＜x0.5＜2；

当x＝4时，x0.5－log2x＝2；当4＜x＜16时，2＜x0.5＜log2x＜4；当x＝16时，x0.5＝log2x＝4；当x＞16时，x0.5＞log2x.可以发现：当x的值足够大(x＞16)时，这4个函数值的大小关系是2x＞x2＞x0.5＞log2x.

(2)先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出更一般的猜想.①y＝1.01x与y＝x100；②y＝x0.25与y＝lgx.解①可以想象，在区间(0，＋∞)上，函数y＝1.01x与y＝x10的图象都是随着x的增大而上升的，函数值的大小有如下特征：当0＜x＜1时，1.01x＞x10；当2≤x≤9000时，1.01x＜x10，

例如，当x＝9000时，1.019000≈7.8×1038，900010≈3.5×1039，显然1.019000＜900010；当x≥10000时，1.01x＞x10，例如，当x＝10000时，1.0110000≈1.6×1043，1000010≈1040，显然1.0110000＞1000010.

②可以想象，在区间(0，＋∞)上，函数y＝x与y＝lgx的图象都是随着x的增大而上升