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01一元二次方程
【专题过关】
类型一、配方法的应用
【解惑】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用,例如:试求二次三项式最小值.解:,,∴???,即的最小值是??试利用“配方法”解决下列问题:
(1)已知,求的最小值.
(2)比较代数式与的大小,并说明理由.
(3)如图,在中,,点在边上以/的速度从点向移动,点在边上以/的速度从点向点移动.若点,同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,设四边形的面积为,运动时间为秒,求的最小值.
??
【答案】(1)3
(2),理由见解析
(3)
【分析】(1)根据题目给的方法将原式配方成,即可判断;
(2)利用作差法结合配方法解答即可;
(3)由题意得:,可得,进而可用含t的式子表示出四边形的面积,再利用配方法求解即可.
【详解】(1),
∵,
∴的最小值是3,即y的最小值是3;
(2)∵
,
,
∴,
∴;
(3)由题意得:,
∴,
∴四边形的面积
;
∴四边形的面积的最小值是.
【点睛】本题考查了配方法的应用,正确变形、掌握解答的方法是解题的关键.
【融会贯通】
1.(2023春·陕西咸阳·八年级统考期末)把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法.如:
①用配方法分解因式:.
解:原式:
②,利用配方法求M的最小值.
解:
∴当时,M有最小值4.
请根据上述材料解决下列问题:
(1)用配方法因式分解;
(2)若,求M的最小值.
【答案】(1)
(2)当时,M有最小值
【分析】(1)应用配方法以及平方差公式,把因式分解即可.
(2)应用配方法,把化成,再根据偶次方的非负性质,求出M的最小值是多少即可.
【详解】(1)
.
(2)
,???
∴当时,M有最小值
【点睛】此题主要考查了利用平方差公式和完全平方式进行因式分解,以及偶次方的非负性质的应用,要熟练掌握.
2.(2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中)教科书中这样写道:“我们把多项式及叫做完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值,最小值等.
例如:分解因式
;
例如:求代数式的最小值为.可知当时,有最小值,最小值是,根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:______;
(2)当a为何值时,多项式有最大值,并求出这个最大值;
(3)当a,b为何值时,多项式有最小值,并求出这个最小值.
【答案】(1);
(2)2,22;
(3),,20.
【分析】(1)根据阅读材料,先将变形为,再根据完全平方公式写成,然后利用平方差公式分解即可解答;
(2)利用分解因式将多项式转化为,然后利用非负数的性质即可解答;
(3)利用分解因式将多项式转化为,然后利用非负数的性质即可解答.
【详解】(1)解:.
(2)解:∵,
∴当时,多项式有最大值22.
(3)(3)∵,
∴当,时,多项式有最小值20.
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质、配方法等知识点,熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键.
3.(2023春·陕西榆林·八年级统考期末)“我们把多项式及叫做完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式于的值不变,这种方法叫做配方法,配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值,最小值等问题.例如:
分解因式:.
求代数式的最小值:.
∵,∴,∴当时,有最小值,最小值是.
根据材料用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:;
(2)当为何值时,多项式有最大值?并求出这个最大值.
【答案】(1);
(2)当时,多项式有最大值,最大值是5.
【分析】(1)根据阅读材料,先将变形为,再根据完全平方公式写成,然后利用平方差公式分解即可;
(2)利用配方法将多项式,转化为,然后利用非负数的性质进行解答.
【详解】(1)解:,
,
,
,
;
(2)解:
,
∴当时,多项式有最大值,最大值是5.
【点睛】本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式,熟记公式,读懂材料,掌握配方法的步骤和运用是解答的关键.
4.(2023春·四川达州·七年级校联考期中)阅读下列材料:利用完全平方公式,将多项式变形为的形式,然后由就可求出多项式的最小值.
例题:求多项式的最小值.
解:.因为所以
当时,因此有最小值,最小值为
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