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y
y
2
D
2
-1
O
i
T
-2
图 10- 1
数,故
/,= Jj(x2
fh
+y1)
3d(j= 2jj( x2
i)i
+y1)
3dcr.
D又由于 关于;t轴对称,被积函数(/+2)3关于y是偶函数,故jj(x2
D
3 r
+ j2) 3dcr= 2j( x2
+ y2)3
da= 2/.
2
从而得
Dy 1
):
/,=4/ .
2
(2) 利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意:
如果积分区域关于^轴对称,而被积函数/(x,)关于y是奇函数,即fix,-y) =
y
-f(x,y) ,PJ
jf/(x,y)da= 0;
D
如果积分区域D关于:K轴对称,而被积函数/(x,y)关于:c是奇函数,即
/( ~x,y) = -/(太,y),则
D
?3.利用二重积分定义证明:
=0.
(1) jjda=
(其中(7为的面积);
IJ
(2) JJ/c/( X,y) drr= Aj|y’( A:,y) do■(其中 A:为常数);
o n
,
(3)JJ/(x,y)clcr =JJ/(x,y)drr +jJ/(x,y)dcr
其中/)=/)!U/), ,
2A为两个
2
b\ lh
尤公共内点的WK域.
证(丨)由于被枳函数./U,y) =
n
1
,故山二t积分定义得
jjltr
=
Hm
y^/(,rji)
=lim cr
=
Ar,=lim^Ac,
a.
A—0
(2)Ji/( x,j) (Ic7=nlim^
i) 1
n
=A lim y/(^
(
,i7, )A(7-,= k
\\f{x,y)Aa.
A-°台 ?{!
(3) 因为函数/U,y)在闭区域/)上可积,故不论把£?怎样分割,积分和的极限
总 是不变的.因此在分割D时,可以使和/) 的公共边界永远是一条分割线.这样
2
在AUD
2
上的积分和就等于上的积分和加D
2
上的积分和,记为
^/(^,,17,)ACT,=^/(^, ,17,)ACT,+^/(^,,17,)ACT,.
/)U0, , l)
( :
令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限,即得 J
f(x,y)i\a = jjf(x,y)da+ JJ/(xy)
f
da.
p,un} V, n;
Sa4.试确定积分区域/),使二重积分][(1-2x2
I)
2)d?l达到最大值.
y y
解由二重积分的性质可知,当积分区域/>包含了所有使被积函数1 - V2大于
等于零的点,而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点,即当£?是椭圆2/+ y2=l所围的平面闭区域时,此二重积分的值达到最大.
5.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:
(1) Ju+y)2山7与J[U,其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A
D I)
所围成;
(2) J(x+)2如与■,其中积分区域 0是由圆周(.r-2)2
7
t) n
所围成;
.、=
+
+(.v-l)2=
( 3 ) IMA; + y) (lor与![ In( X+ y) ] 2(1(7,其中Z>是三角形闭
K域,三顶点分别为
l)
(1,0),(1,1),(2,0);
(4) Jpn(:r+ y) dcr与 In(:t+ y) ]
,0彡、彡 1.
i) i)
2fW,其中 /) = | (.r,.v) | 3
解(1)在积分K域0上 , 故 有
(x+j)根据二重积分的性质4,可得
3^ (x+y) 2.
J(.r+y)\lrx^J(.\+v)
0 D
(2) 由于积分区域 0位于半平面| (A:,V)|.V+?、彡11 内,故在
/)|: (.f+y) 2彡(A+y) 3?从『(? J(v+ >):drr^jj(x +y)\l fr.
(3) 由于积分区域D位于条形区域1 U,y) |
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