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二维随机变量的期望与方差

【定义11.1】设二维随机变量（X、Y）的Jointp.d.f.

为f(x,y)，则：

EX ???

???

?

EY? ?

xf (x)dx???

?X ??

?

yf (y)dy? ?

?? xf(x,y)dydx

???

?

? yf(x,y)dxdy

?? Y ?? ??

DX ???

??

(x?EX)2

f (x)dx???

??

?? (x?EX)2f(x,y)dydx

??

DY???

??

(y?EY)2

f (y)dy???

??

?? (y?EY)2f(x,y)dxdy

??

假定有关的广义积分是绝对收敛的。

EZ??

EZ??? ?? g(x,y)?f(x,y)dxdy

?? ??

有关性质：

①E（X+Y）=EX+EY；

因为：

E(X?Y)???

??

?? (x?y)f(x,y)dxdy

??

??? ??

xf(x,y)dxdy??? ??

yf(x,y)dxdy

? ?? ??

?? ??

EX?EY

②设X、Y同类型，且相互独立，则：E(XY)=EXEY；

对连续情形：因X、Y相互独立，

故 ，f(x,y)? f (x)f (y

故 ，

X Y

E(XY)?????xyf(x,y)dxdy????

E(XY)???

??

xyf(x,y)dxdy???

??

xyf

(x)f

(y)dxdy

??? xf (x)dx??? yf (y)dy

? ?? X

?? Y

EX?EY

③设X、Y相互独立，则：D（X+Y）=DX+DY；

由于X、Y相互独立，X-EX与Y-EY也相互独立，

E{[X ?EX][Y?EY]}?E[X ?EX]E[Y?EY]?0

因而：

D(X?Y)?E{[X?Y?E(X?Y)]2}

?E{[(X?EX)?(Y?EY)]2}

?E(X?EX)2?E(Y?EY)2?2E[(X?EX)(Y?EY)]

?DX?DY