第10章坐标平面上的直线（聚焦考点）-沪教版（上海）高三数学三轮冲刺.docx

2020年高考考点总动员之三轮冲刺聚焦考点+名师点睛+能力提升（上海地区专用）

第10章坐标平面上的直线

1．直线方程的几种形式

名称

方程

说明

适用范围

点方向式方程

──直线上已知点

──直线方向向量

，

点法向式方程

──直线上已知点

──直线的法向量

平面直角坐标系内的直线都适用

斜截式

、分别表示直线的斜率和在纵轴上的截距

直线斜率存在

点斜式

──直线上已知点

──斜率

斜率存在，即不含直线

一般式

为直线的法向量

为直线的方向向量

平面直角坐标系内的直线都适用

2．倾斜角与斜率

（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，把轴绕直线与轴的交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角．当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为，故倾斜角的范围是．

（2）斜率：不是的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即．（的倾斜角的斜率不存在；即：时）．

（3）求直线斜率的方法

①定义法：已知直线的倾斜角为，且，则斜率．

②公式法：已知直线过两点、，且，则斜率．

③方向向量法：若为直线的方向向量，则直线的斜率．

（4）求直线倾斜角的方法

直线斜率不存在，倾斜角；当时，直线斜率存在，且

．

3．两直线的位置关系

（1）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交．

（2）判别方法：

法一：系数行列式

两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系：

①与相交方程组有唯一解即；

②与平行方程组无解且中至少有一个不为零；

③与重合方程组有无穷多解．

注：时，与平行或重合，即是与平行的必要非充分条件．

法二：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定

方程

方

程

条

件

关

系

：

：

：

：

平行

且

重合

且

相交

4．相交直线的夹角

向量表示：．

斜率表示：由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论．

（1）若两直线的斜率都存在，当时，有公式；

（2）如果直线和中有一条斜率不存在，“夹角”可借助于图形，通过直线的倾斜角求出．

【注意】

【注意】

(1)当直线：与：垂直时，它们夹角为，方向向量垂直.即.

(2)当直线：与直线：垂直时，因为，，则，即.

【小贴士】

【小贴士】

直线方程中含有参数的时候代表的是直线系.我们常见的有两种形式：

形如的形式代表斜率皆为2相互平行的直线簇.

形如的形式代表经过定点的直线簇.

解法一：将含参数的式子放在一起，不含参数的式子放在一起：

直线经过定点必然与无关，则，故经过定点.

解法二：将参数赋予两个不同的值，得到两个不同的直线，两直线的交点即为定点.

时；时，两直线的交点为.

5．点到直线的距离

（1）点到直线的距离

点到直线的距离．

（2）点在直线的同侧或异侧的问题

令，当两点在直线的同侧，则它们的同号；当两点在直线的异侧，则异号．

（3）平行直线间的距离

若两条平行线直线：，：的距离

（）．

思考1：

思考1：

若直线：与：平行，如何求两直线之间的距离？

6．对称问题

（1）点关于点的对称

=1\*GB3①若，，则的中点坐标是；

=2\*GB3②关于的对称点坐标是．

（2）点关于线的对称问题

=1\*GB3①关于的对称点为

=2\*GB3②关于的对称点为

=3\*GB3③关于的对称点为（巧记：代入求，代入求）

=4\*GB3④关于的对称点为（巧记：代入求，代入求）

=5\*GB3⑤求解关于的对称点一般步骤：

=1\*romani设对称点

=2\*romanii列方程

=3\*romaniii求解

（3）线关于线的对称

=1\*GB3①思路：转化为点关于线的对称问题．

=2\*GB3②求解关于的对称直线一般步骤：

=1\*romani在上取一点

=2\*romanii设关于对称点为

=3\*romaniii列方程

=4\*romaniv求解

7．二元一次不等式表示平面区域

（1）一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线．不等式所表示的平面区域（半平面）包括边界线；

（2）对于直线同一侧的所有点，使得的值符号相同．因此，如果直线一侧的点使，另一侧的点就使．所以判定不等式

（或）所表示的平面区域时，只要在直线的一侧任意

取一点，将它的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面

区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域；

（3）由几个不等式组成的不等式