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离散数学

习题课

第一章7.设B={a},求P(B)，P(P(B))，P(P(P(B)))。解：P(B)={?,{a}}P(P(B))={?,{?},{{a}},{?,{a}}}P(P(P(B)))={?,{?},{{?}},{{{a}}},{{?,{a}}},{?,{?}},{?,{{a}}},{?,{?,{a}}},{{?},{{a}}},{{?},{?,{a}}},{{{a}},{?,{a}}},{?,{?},{{a}}},{?,{?},{?,{a}}},{?,{{a}},{?,{a}}},{{?},{{a}},{?,{a}}},{?,{?},{{a}},{?,{a}}}}

第一章18.对任意集合A,B和C，证明下列各式。③(A-(B∪C))=((A-C)-B)⑤P(A)∪P(B)?P(A∪B)证明：③(A?(B?C))=A??(B?C)=A?(?B??C)=A?(?C??B)=(A??C)??B=(A?C)??B=(A?C)?B⑤证明：设?x?(P(A)?P(B))，则x?P(A)或x?P(B)，即x?A或x?B，则?a?x，故a?A或a?B，则a?A?B，故x?A?B，即x?P(A?B)。所以，P(A)?P(B)?P(A?B)。

第一章27.某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这3种球。已知6个人会打网球，并且这6个人都会打篮球或排球,求该班同学中不会打球的人数。解：设集合A表示会打篮球的同学集合，集合B表示会打排球的同学集合，集合C表示会打网球的同学集合。|U|=25，|A|=14，|B|=12，|A?B|=6，|A?C|=5，|A?B?C|=2，|C|=6，|(A?C)?(B?C)|＝6，|(A?C)?(B?C)|=|A?C|+|B?C|?|A?B?C|=5+|B?C|?2=6，?|B?C|=3。|?(A?B?C)|=|U|?|A?B?C|=25?|A?B?C|，|A?B?C|=|A|+|B|+|C|?|A?B|?|A?C|?|B?C|+|A?B?C|=14+12+6?6?5?3+2=20?|?(A?B?C)|=25?20=5故该班同学中不会打篮球的人数共有5人。

第二章4.对于集合A和B，证明(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C);证明：（1）对于任意x,y?(A?B)?C，则有x?A?B且y?C。由交集的定义知，x?A且x?B，故有x?A且y?C且x?B且y?C。所以，x,y?A?C且x,y?B?C，即x,y?(A?C)?(B?C)。（2）对于任意x,y?((A?C)?(B?C)，则有x,y?A?C且x,y?B?C。由笛卡儿积的定义知，x?A且y?C，且x?B且y?C。故有x?A且x?B且y?C，即x?A?B且y?C。故x,y?(A?B)?C。由综上（1）（2）知，(A?B)?C=(A?C)?(B?C)。

第二章7.对于集合A={a,b,c}和集合B={{a},{a,b},{a,c},{b,c}}，求⑤B上的包含关系;R5={{a},{a},{a,b},{a},{a,c},{a},{a,b},{a,b},{a,c},{a,c},{b,c},{b,c}}?8.对于集合A={3,5,7,9}和B={2,3,4,6,8,10},求如下关系的关系矩阵。⑥从B到A的整除关系。R={3,3,3,9}MR=

第二章14.设A={a,b,c,d,e,f,g}，其中a,b,c,d,e,f和g分别表示7个人，且a,b和c都是18岁，d和e都是21岁，f和g都是23岁。试给出A上的同龄关系，并用关系矩阵和关系图表示。解：A上的同龄关系R={a,a,a,b,a,c,b,a,b,b,b,c,c,a,c,b,c,c,d,d,d,e,e,d,e,e,f,f,f,g,g,f,g,g}

第二章15.判断集合A={a,b,c}上的如下关系所具有的性质。①R1={a,a,b,b,c,c,a,b,b,c,a,c};自反，反对称，传递④R4={a,a,b,b,c,c,a,b,b,a};自反，对称，传递⑤R5=A×A;自反，对称，传递⑥R6=?。反自反，对称，反对称，传递

第二章26.设R和S是集合A上的关系，试证明或否定以下论断。①若R和S是自反的，则R?S是自反的;③若R和S是对称的，则R?S是对称的;⑤若R和S是传递的，则R?S是传递的;解①论断正确。证明：设任意的x?A，因为R和S都是A上的自反关系，所以x,x?R且x,x?S。根据复合运算的定义，得x,x?R?S，所以R?S是A上的自反关系。③论断错误。例如：设