新教材适用2023_2024学年高中数学第1章直线与圆1直线与直线的方程1.4两条直线的平行与垂直课件北师大版选择性必修第一册.pptx

1.4两条直线的平行与垂直第一章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.掌握两条直线平行或垂直的条件,会判断两条直线是否平行或垂直.体会用代数方法研究几何问题的思想.2.能根据两条直线平行或垂直,求直线方程中的参数.提升逻辑推理和数学运算素养.3.会求过一点且与已知直线平行或垂直的直线的方程.

自主预习新知导学

一、两条直线平行【问题思考】1.如图1-1-5,设对于两条不重合的直线l1与l2,其倾斜角分别为α1与α2,斜率分别为k1与k2.若l1∥l2,则α1与α2之间有什么关系?k1与k2之间有什么关系?提示:α1与α2之间的关系为α1=α2.对于k1与k2之间的关系,当α1=α2≠90°时,因为α1=α2,所以tanα1=tanα2,即k1=k2;当α1=α2=90°时,k1与k2不存在.图1-1-5

2.(1)对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),l1∥l2?k1=k2(k1,k2均存在).若直线l1与直线l2的斜率都不存在,则它们都是倾斜角为的直线,从而它们互相平行或重合.(2)对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)和l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),它们的法向量n1=(A1,B1),n2=(A2,B2),则l1∥l2?A1B2-A2B1=0.

3.直线2x-y+1=0与直线4x-2y+1=0的位置关系是().A.平行 B.不平行C.平行或重合 D.既不平行也不重合解析:把两直线方程分别化为斜截式为y=2x+1,y=2x+,显然平行.答案:A

二、两条直线垂直【问题思考】1.(1)如图1-1-6,设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2,且α1α2,斜率分别为k1,k2.若l1⊥l2,则α1与α2之间有什么关系?为什么?提示:α2=90°+α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和.图1-1-6

(2)若两条直线垂直,它们的斜率之积一定为-1吗?提示:不一定.两条直线垂直,只有在斜率都存在时,斜率之积才为-1.若其中一条直线斜率为0,而另一条直线斜率不存在,此时两直线垂直,但斜率之积不是-1.

2.(1)对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1⊥l2?k1k2=-1.特殊地,当l1,l2中有一条直线的斜率不存在时,说明斜率不存在的直线与x轴垂直,因此,若l1⊥l2,则另一条直线与x轴平行或重合,即另一条直线的斜率为0.(2)已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)和l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0).l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

3.已知直线l1,l2互相垂直,直线l1的方程为kx+(1-k)y-3=0,直线l2的方程为(k-1)x+(2k+3)y-2=0,则k等于().A.-3或-1 B.3或-1C.-3或1 D.3或1解析:l1⊥l2?k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0?(1-k)(k+3)=0?k=1或k=-3.故选C.答案:C

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)若直线的斜率不存在,则这条直线一定平行于y轴或与y轴重合.()(2)斜率相等的两条直线一定平行.()(3)若两条直线的斜率都存在,记为k1,k2,且k1k2≠-1,则这两条直线必不垂直.()(4)若两条直线垂直,则这两条直线的倾斜角可能相等.()√×√×

合作探究释疑解惑

探究一两条直线平行或垂直的判定【例1】判断下列各组直线的位置关系,并说明理由.(1)l1:3x+5y-6=0,l2:6x+10y+3=0;(2)l1:3x-6y+14=0,l2:2x+y-2=0;(3)l1:x=2,l2:x=4;(4)l1:y=-3,l2:x=1.

解:(1)设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,在y轴上的截距分别为b1,b2.将两条直线的方程分别化为斜截式:∵k1=k2,b1≠b2,∴l1∥l2.

(2)设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.将两条直线的方程分别化为斜截式:(3)∵l1:x=2,l2:x=4,且两直线在x轴上的截距不相等,∴l1∥l2.(4)由题意,知l1⊥y轴,l2⊥x轴,则l1⊥l2.

已知直线方程,判断两直线平行或垂直的方法(1)若两直线l1与l2的斜率均存在,则当k1k2=-1时,l1⊥l2;当k1=k2,且它们在y轴上的截距不相等时,l1∥l2.(2)若两直线l1与l2的斜率均不存在,且在x轴上的截距不相等,则l1∥l2.