高中数学培优讲义练习（必修二）：专题8.13 空间直线、平面的垂直（二）（重难点题型精讲）（学生版）.docxVIP

专题8.13空间直线、平面的垂直（二）（重难点题型精讲）

1．二面角

(1)二面角的定义

①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.

②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个

半平面叫做二面角的面.

(2)二面角的表示

①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角

-l-，如图(1).

②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这

个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).

(3)二面角的平面角

①自然语言

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和

OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

②图形语言

③符号语言

∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.

(4)二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时，

规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是.

2．面面垂直的定义及判定定理

(1)平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂

直，记作⊥.

(2)两个平面互相垂直的画法

如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.

(3)平面与平面垂直的判定定理

①自然语言

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

②图形语言

③符号语言

.

该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.

3．平面与平面垂直的性质定理

(1)平面与平面垂直的性质定理

①自然语言

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

②图形语言

③符号语言

.

(2)性质定理的作用

①证明线面垂直、线线垂直；

②构造面的垂线.

4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化

(1)判定直线与直线垂直的方法

①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直.

②利用直线与平面垂直的性质来判定.

③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.

(2)判定直线与平面垂直的方法

①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.

②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.

③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.

④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥.

⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥

a⊥.

(3)平面与平面垂直的其他性质与结论

①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.

③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.

④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.

⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.

(4)线、面垂直位置关系的相互转化

(5)平行关系与垂直关系的相互转化

【题型1求二面角】

【方法点拨】

求二面角的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即

过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找

到二面角的平面角或其补角.

【例1】（2022秋·贵州遵义·高二期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．

(1)证明：PB⊥AC；

(2)若AB=AC=1，四棱椎P－ABCD的体积为13，求二面角P－BC－A

【变式1-1】（2023·高一课时练习）已知PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为45°

(1)二面角B?PC?D的大小；

(2)直线PB与平面PCD所成的角的大小．

【变式1-2】（2023春·江苏常州·高三开学考试）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，平行于BC的直线分别交线段AB,AC于点M,N.将△AMN沿着MN折起至△A1MN

(1)若平面A1MN∩平面A1

(2)若三棱锥A1?AMN的体积为1，求二面角

【变式1-3】（2022秋·湖南郴州·高二阶段练习）已知三棱锥P?ABC的底面ABC是边