高中数学培优讲义练习（必修二）：专题8.5 简单几何体的表面积与体积（重难点题型精讲）（学生版）.docxVIP

专题8.5简单几何体的表面积与体积（重难点题型精讲）

1．多面体的侧面积、表面积和体积

2．旋转体的侧面积、表面积和体积

3．空间几何体表面积与体积的常见求法

(1)常见的求几何体体积的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

(2)求组合体的表面积与体积的方法

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该

怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.

4．球的截面

(1)球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面；

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.

图形解释如下：

在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O为圆心的截面的半径

为r，OO=d.则在Rt△OOC中，有，即.

5．几何体与球的切、接问题

常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.

常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

【题型1多面体的表面积与体积】

【方法点拨】

求解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体

积计算公式，进行求解即可.

【例1】（2023·全国·模拟预测）如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，如图2，已知正四棱锥P?ABCD的高为4.87m，其侧棱与高的夹角为45°，则该正四棱锥的体积约为（????）4.87

A．231m3 B．179m3 C．

【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）如图，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在CC

A．V28 B．V21 C．3V28

【变式1-2】（2023·高一课时练习）已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（????）

A．30 B．15 C．10 D．60

【变式1-3】（2023秋·江西上饶·高二期末）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列选项不正确

A．V=16 B．V

C．V2=16

【题型2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】

【方法点拨】

求解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体

积计算公式，进行求解即可.

【例2】已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为（????

A．4π B．8π C．12π

【变式2-1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知一个圆柱体积为π，底面半径为3，则与此圆柱同底且体积相同的圆锥的侧面积为（????）

A．3π B．23π C．3

【变式2-2】（2022春·河南·高一期中）圆台上?下底面半径分别是1?2，高为3，这个圆台的体积是（

A．733π B．23π

【变式2-3】（2023春·河南·高三开学考试）如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知AB=9cm,CD=3cm

A．363+81π

C．243+81π

【题型3球的表面积与体积】

【方法点拨】

计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，要注意把握球的表面积公式和体积公式中系数的特征和

半径次数的区别.必要时需逆用表面积公式和体积公式得到球的半径.

【例3】（2023·高一课时练习）若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（????）

A．n?1 B．n+1 C．n+2

【变式3-1】（2022秋·上海徐汇·高二期末）如果两个球的表面积之比为4：9，那么这两个球的体积之比为（????）

A．8：27 B．2：13 C．4：943 D．2：9

【变式3-2】（2022