高中数学培优讲义练习（必修一）：专题4.1 指数-重难点题型精讲（教师版）.docxVIP

专题4.1指数-重难点题型精讲

1．根式

(1)n次方根的定义与性质

(2)根式的定义与性质

2．分数指数幂

注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.

3．有理数指数幂的运算

(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：

①(a0,r,s∈Q)；

②(a0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).

(2)指数幂的几个常用结论：

①当a0时，0；

②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；

③若(a0,且a≠1)，则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂.

4．无理数指数幂及实数指数幂

(1)无理数指数幂

一般地，无理数指数幂(a0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a0)中指数x

的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数幂的运算性质：

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.

【题型1根式与分数指数幂的互化】

【方法点拨】

根据根式与分数指数幂的互化运算法则，进行计算即可.

【例1】（2022?扬中市校级开学）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（）

A．?x=(?x)?12

B．x?

C．(xy)?34

D．4y2=1y

【解题思路】由已知结合二次根式与分数指数幂的相互转化分别检验各选项即可判断．

【解答过程】解：?x=?x12

x?13

（xy）?34

4y2=

故选：C．

【变式1-1】（2022?茂名模拟）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）

A．?x=(?x)12

C．6y2=y

【解题思路】根据指数幂的运算法则化简判断即可．

【解答过程】解：对于A：?x=?

对于B：x?34=4(1

对于C：6y2=|y

对于D：[3(?x)2]34=((?x

故选：B．

【变式1-2】（2021秋?电白区期中）下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（）

A．?x=(?x)12

C．x?34=

【解题思路】利用根式与分数指数幂的关系得出A?x=?x12（x＞0），6y2=(y

【解答过程】解：A．?x=?x12（x

B.6y2=(y

C.x?34=4(1

D.x?13

故选：C．

【变式1-3】（2021秋?水磨沟区校级月考）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（）

A．?x=(?x)12

C．x?34=

【解题思路】根据有理数指数幂与根式互化的运算性质对应各个选项逐个化简即可．

【解答过程】解：选项A：由运算性质可得：?x=?x

选项B：因为x≤0，所以6x2=

选项C：x?34=1x34

选项D：x?13=1x13

故选：C．

【题型2指数式的化简】

【方法点拨】

利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可．

【例2】（2021秋?惠阳区校级月考）（112）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷

A．?13 B．13 C．43

【解题思路】根据指数幂的运算性质即可求出．

【解答过程】解：原式＝1﹣（1﹣4）÷（32）2＝1+3×

故选：D．

【变式2-1】（2021秋?杭州期中）20+

A．25 B．35?1 C．35+1

【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解．

【解答过程】解：原式=25+5+2﹣1＝

故选：C．

【变式2-2】（2021秋?龙湖区校级期末）设a＞0，b＞0，化简(a

A．?13a23 B．?3a23

【解题思路】利用有理数指数幂的性质进行运算即可．

【解答过程】解：(a23b13)?(?a12b

故选：D．

【变式2-3】（2021秋?秦淮区校级月考）计算12

A．1e B．e C．e2 D．

【解题思路】根据指数幂的运算性质计算即可．

【解答过程】解：原式=2+1﹣1+e?

故选：B．

【题型3根据指数式求参】

【方法点拨】

根据所给的指数关系式，利用指数幂的运算性质，化简求解参数的值.

【例3】（2021秋?海陵区校级月考）已知x7＝5，则x的值为（）

A．5 B．75 C．?75

【解题思路】根据根式性质计算即可．

【解答过程】解：由根式的定义知x7＝5，则x=7

故选：B．

【变式3-1】（2021?广东学业考试）已知x?23=

A．±18 B．±8 C．344

【解题思路】把已知等式变形，可得3x2=14

【解答过程】解：由x?23=4，得

∴x2=164

故选：A．

【变式3-2】（2022秋?诸暨市校级月考）若4a2?4a+1

A．a≥12 B．a≤12 C

【解题思路】先对4a2?4a+1=3(1?2a)3进行化简，然后根