高中数学培优讲义练习（选择性必修二）：专题4.11 数学归纳法（重难点题型精讲）（教师版）.docx

专题4.11数学归纳法（重难点题型精讲）

1．归纳法

由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想

的一种方法.

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.

2．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；

第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.

上述证明方法称为数学归纳法.

3．数学归纳法的重要结论及适用范围

【题型1数学归纳法的证明步骤】

【方法点拨】

结合所给条件，根据数学归纳法的证明步骤，进行求解即可.

【例1】（2022·上海·高二专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1?12+13?1

A．n=k+1时不等式成立 B．n=k+2时不等式成立

C．n=2k+2时不等式成立 D．n=2k+2

【解题思路】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出．

【解答过程】若已假设n=k（k2，k为偶数）时命题为真，

因为n只能取偶数，

所以还需要证明n=k+2成立．

故选：B．

【变式1-1】（2022·吉林·模拟预测（理））用数学归纳法证明1+a+a2+?+

A．1=1?a31?a B．1+a=1?a

【解题思路】根据数学归纳法的步骤要求，第一步归纳奠基时，验证n=1时的等式，结合所要证明的等式，即可得答案.

【解答过程】将n=1代入等式1+a+a2+?+

则第一步归纳奠基时，要验证的等式即为1+a+a

故选：D.

【变式1-2】（2022·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)???(n+n)=2n?1?3???(2n?1)n∈N?，从k

A．2k+1 B．2

C．2k+1k+1 D．

【解题思路】按照数学归纳法类比题干条件逐项展开即可.

【解答过程】当n=k时,左边等于(k+1)(k+2)???(k+k);

当n=k+

k+1+

即左边等于(k+2)(k+3)???(k+k)(2k+1)(2k+2)；

所以左边增乘的项为2k+12k+2

故选：B.

【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：n+1n+2?n+n=2n?1?3?

A．2k+2 B．2k+1

C．2k+22k+1 D．

【解题思路】根据题意，分别得到n=k和n=k+1时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.

【解答过程】当n=k时，左边A=(k+1)(k+2)?(k+k)=(k+1)(k+2)?(2k)，

当n=k+1时，左边B=(k+1)(k+2)?(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)?(2k+2)，

则BA

故选：D.

【题型2用数学归纳法证明恒等式】

【方法点拨】

数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命

题为P(n)：f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题.

【例2】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1×2+2×5+???+n3n?1=n2n+1

【解题思路】先验证n=1时，等式成立，再假设n=k时，1×2+2×5+???+k3k?1=k

【解答过程】证明：①当n=1时，1×2+2×5+???+n3n?1=1×2，

②假设n=k时，1×2+2×5+???+k3k?1

则n=k+1时，1×2+2×5+???+k

=(k+1)(k

即n=k+1时，等式成立，

综合①②可知，1×2+2×5+???+n3n?1=n2n+1

【变式2-1】（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：12+1+

【解题思路】根据数学归纳法的步骤即可完成证明

【解答过程】证明：①当n=1时，左边=2，右边=1

②假设当n=k(k∈N

即12

那么当n=k+1时，

12+1

=1

故当n=k+1时，等式也成立．

综上可知等式对任意正整数n都成立．

【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).

【解题思路】根据数学归纳法的步骤证明即可.

【解答过程】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立.

（2）假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.

则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2(k＋1)[2(k＋1)－3]＋3，

即当n＝k＋1时，等式也成立.