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专题3.3函数的基本性质-重难点题型精讲
1.函数的单调性
(1)单调递增、单调递减:
(2)函数的单调性及单调区间:
①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.
②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单
调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
(3)常见函数的单调性:
(4)单调函数的运算性质:
若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调性,则在区间D上具有以下性质:
①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
②若a为常数,则当a0时,f(x)与af(x)具有相同的单调性;当a0时,f(x)与af(x)具有相反的
单调性.
③若f(x)恒为正值或恒为负值,a为常数,则当a0时,f(x)与具有相反的单调性;当a0时,
f(x)与具有相同的单调性.
④若f(x)≥0,则f(x)与具有相同的单调性.
⑤在f(x),g(x)的公共单调区间上,有如下结论:
⑥当f(x),g(x)在区间D上都是单调递增(减)的,若两者都恒大于零,则f(x)g(x)在区间D上也是单调递增(减)的;若两者都恒小于零,则f(x)g(x)在区间D上单调递减(增).
(5)复合函数的单调性判定:
对于复合函数f(g(x)),设t=g(x)在(a,b)上单调,且y=f(t)在(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上也单调.
2.函数的最大(小)值
(1)函数的最大(小)值:
(2)利用函数单调性求最值的常用结论:
①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b),如图(1)所示;
②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最小值f(b),如图(2)所示.
3.函数的奇偶性
(1)定义:
(2)奇偶函数的图象特征(几何意义)
①奇函数的图象特征:若一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;反之,若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
②偶函数的图象特征:若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
③奇偶函数的结论:奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
(3)函数图象的对称性:
①图象关于点成中心对称图形:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.
②图象关于直线成轴对称图形:函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.
【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】
【方法点拨】
(1)定义法:利用函数单调性的定义讨论函数的单调性或求单调区间.
(2)图象法:根据函数解析式画出函数图象,通过函数图象研究单调性.
注:①复合函数单调性的判断方法:根据复合函数的单调性满足“同增异减”,可判断复合函数的单调性;
②抽象函数单调性的判断方法:一种是“凑”,凑定义或凑已知,从而使用定义或已知条件得出结论;另一种是“赋值”,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.
【例1】(2021秋?邗江区期中)下列函数中,在(﹣∞,0)上为减函数的是()
A.y=?1x B.y=2x+1 C.y=x2 D.y
【解题思路】根据题意,依次分析选项中函数的单调性,综合可得答案.
【解答过程】解:根据题意,依次分析选项:
对于A,y=?1x
对于B,y=2x+1,为一次函数,在(﹣∞,0)上为增函数,不符合题意;
对于C,y=x2,为二次函数,在(﹣∞,0)上为减函数,符合题意;
对于D,y=x0=1,(x≠0),在(﹣∞,0)上不是减函数,不符合题意;
故选:C.
【变式1-1】(2022春?天津期末)下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是()
A.f(x)=3﹣x B.f(x)=x2﹣3x C.f(x)=?1x D.f(x)=﹣
【解题思路】根据题意,依次分析选项中函数的单调性,综合即可得答案.
【解答过程】解:根据题意,依次分析选项:
对于A,f(x)=3﹣x为一次函数,在(0,+∞)上为减函数,不符合题意;
对于B,f(x)=x2﹣3x为二次函数,在(0,32
对于C,f(x)=?1x为反比例函
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