高中数学培优讲义练习（选择性必修二）：专题4.12 数学归纳法（重难点题型检测）（教师版）.docx

专题4.12数学归纳法（重难点题型检测）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+?+1

A．1项 B．k项 C．2k?1项 D．2

【解题思路】分别分析当n=k与n=k+1时等号左边的项，再分析增加项即可

【解答过程】由题意知当n=k时，左边为1+12+13+?+12k

故选：D.

2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：12+22+???+n2

A．k2+12 B．k2+1

【解题思路】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．

【解答过程】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，

由于n=k，左边=1

n=k+1时，左边=1

比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k+1)2

故选：C．

3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f(n+1)与f(n)之间的关系为（????）

A．f(n+1)=f(n)+n B．f(n+1)=f(n)+2n

C．f(n+1)=f(n)+n+1 D．f(n+1)=f(n)+n?1

【解题思路】第n+1个圆与前n个圆相交有2n个交点，这些交点把第n+1个圆分成2n段圆弧，每段圆弧把它所在区域分成两部分，由此可得增加的区域数，得出结论．

【解答过程】依题意得，由n个圆增加到n+1个圆，增加了2n个交点，这2n个交点将新增的圆分成2n段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域，因此f(n+1)=f(n)+2n．

故选：B．

4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“5n?2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用假设，应将

A．55k?

C．5?25k?

【解题思路】假设n=k时命题成立，分解5k+1?2k+1的过程中要

【解答过程】解：假设n=k时命题成立，即：5k

当n=k+1时，

5

=5

=55

故选：A．

5．（3分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+?+12n1324

A．增加了一项1

B．增加了两项12k+1，

C．增加了两项12k+1，12(k+1)

D．增加了一项12(k+1)，又减少了一项

【解题思路】将n＝k、n＝k＋1代入不等式左边，比较两式即可求解.

【解答过程】n＝k时，左边为1k+1＋1k+2＋…＋1

n＝k＋1时，左边为1k+2＋1k+3＋…＋12k＋12k+1

比较①②可知C正确.

故选：C.

6．（3分）（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋n(n?1)2d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（????

A．a1＋(k－1)d B．k(

C．ka1＋k(k?1)2d D．(k＋1)a1＋k(k+1)

【解题思路】只需把公式中的n换成k即可．

【解答过程】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋k(k?1)2d

故选:C.

7．（3分）（2022·上海·高二专题练习）对于不等式n2+n＜n＋1(n∈N

（1）当n＝1时，12

（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2+k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k+1)2+(k+1)＝k2+3k+2＜

∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（????）

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

【解题思路】根据数学归纳法的定义即可判断答案.

【解答过程】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.

故选:D.

8．（3分）（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“(3n+1)?7n?1(n∈N?)能被9整除”，在假设

A．3×7k+6 B．3×7k+1+6

【解题思路】假设n=k时命题成立，即(3k+1)?7k?1能被9整除，计算当n=k+1时，3

【解答过程】解：假设n=k时命题成立，即(3k+1)?7

当n=k+1时，3

=

=

=

=6?

=6?3k+1

∵(3k+1)?7k

要证上式能被9整除，还需证明3?7k+1

故选：B.

二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）

9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）对于不等式n2+n≤n+1n∈N?，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当n=1时，12+1≤1+1，不等式成立.②假设当n=kk≥1,k∈N

A．过程全部正确 B．n=1时证明正确

C．过程全部不正确 D．从n=k到n=k