单位圆到若干类四边形的平面调和映射.pdf

摘要

本文主要研究单位圆到平行四边形区域,直角梯形区域和一类非凸四边形区

域的平面调和映射,并借助单位圆到菱形区域和正n边形区域(n为偶数)的平

面调和映射构造最小曲面.

第一章,绪论.在这一章中,我们简单的回顾了共形映射理和平面调和映射理

论的发展背景,给出了本文所用到的一些符号,介绍了辐角函数的相关性质,列出

了本文的主要结果.

第二章,构造单位圆到若干类四边形的平面调和映射.在共形映射下,Schwarz-

Christoffel变换给出了单位圆或者上半平面到任意多边形的共形映射的表达式,

但是Schwarz-Christoffel变换在实际应用的过程中往往涉及到椭圆函数,超几何

函数等一系列复杂的函数,故此该变换在实用上存在一定的困难.调和映射是共

形映射的自然推广,能否在调和映射的条件下给出类似于Schwarz-Christoffel变

换的结果,是一件值得研究的课题.在这一章中,我们借助辐角函数是调和函数这

一基本性质,将平行四边形区域,直角梯形区域和一类非凸四边形区域的四条边

看成四个向量,得到了单位圆到平行四边形区域,直角梯形区域和一类非凸四边

形区域的平面调和映射的表达式,说明了边界对应关系.借助mathematica7画

出了像域并辅助我们证明了映射的单叶性,并计算了调和映射的第二复特征.

第三章,最小曲面.19世纪下半叶,德国数学家Weierstrass给出了最小曲面

的通解,即Weierstrass-Enneper公式.该公式将最小曲面理论和平面调和映射理

论联系在一起.但是应用Weierstrass-Enneper公式来构造最小曲面,对平面调

和映射的第二复特征要求较高,即第二复特征为一个解析函数的平方.在这一章

中,我们借助单位圆到菱形区域和正n边形区域(n为偶数)的平面调和映射的第

二复特征恰好为解析函数的平方,借助Weirstrass-Enneper公式构造了最小曲面.

关键词：调和函数;平行四边形;直角梯形;非凸四边形;最小曲面

I

目录

中文摘要I

英文摘要III

第一章绪论1

1.1研究背景................................1

1.2符号和定义...............................3

1.3辐角函数的某些性质..........................4

1.4主要结果................................5

第二章构造单位圆到若干类四边形的平面调和映射9

2.1引言...................................9