人教A版高中数学选择性必修第二册第4章4-2-2第2课时等差数列前n项和的最值及应用课件.ppt

第四章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的最值及应用

学习任务能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题．(数学运算、数学建模)

必备知识·情境导学探新知01

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知识点1等差数列前n项和的函数特征等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程?

等差数列的前n项和公式与二次函数的关系

知识点2等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，d0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值．(2)若a10，d0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值．特别地，若a10，d0，则___是{Sn}的最__值；若a10，d0，则___是{Sn}的最大值．小大S1小S1

提醒由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．

1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________．－1[∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1．]－1

2．设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最____________(填“大”或“小”)值为____________．大26?

关键能力·合作探究释疑难02类型1等差数列前n项和最值问题的判断类型2等差数列前n项和Sn的最大(小)值类型3等差数列求和的实际应用

类型1等差数列前n项和最值问题的判断【例1】(多选)在等差数列{an}中，首项a10，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，则下列命题正确的是()A．若S3＝S11，则必有S14＝0B．若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项C．若S7S8，则必有S8S9D．若S7S8，则必有S6S8√√√

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[跟进训练]1．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S6＝S7S8，则下列结论正确的是()A．d0B．a7＝0C．S9S5D．S6与S7均为Sn的最大值√√√

ABD[∵S5S6＝S7S8，∴a60，a7＝0，a80．∴d0．∴S6与S7圴为Sn的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)0．∴S9S5，故选ABD．]

类型2等差数列前n项和Sn的最大(小)值【例2】数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前多少项和最大？[思路引导](1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通项公式；(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数，可利用二次函数求解最值的方法解决．

[解](1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n．故{an}的通项公式为an＝34－2n．

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[母题探究](变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和Sn的最大值．

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法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0．由等差数列的性质得a13＋a14＝0．∵a10，∴d0．∴a130，a140．∴当n＝13时，Sn有最大值169．

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反思领悟1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．(2)借助二次函数的图象及性质求最值．

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[跟进训练]2．(源于人教B版教材)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n，(1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；

[解]当n＝1时，有a1＝S1＝－28．当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32．又因为4×1－32＝－28，所以n＝1时an＝4n－32也成立，因此数列的通项公式为an＝4n－32.因为an＋1－an＝4(n＋1)－32－(4n－32)＝4，所以{an}是等差数列．

(2)求Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值．??

类型3等差数列求和的实际应用【例3】7月份，有一新款服装投入某市场．7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？

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(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问该款服装在社会上流行几天？?

∴当1≤n≤13时，由Sn200，得12≤n≤