高中数学培优讲义练习（必修二）：专题8.7 空间点、直线、平面之间的位置关系（重难点题型精讲）（学生版）.docxVIP

专题8.7空间点、直线、平面之间的位置关系（重难点题型精讲）

1．平面

(1)平面的概念

生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平

面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.

(2)平面的画法

①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.

②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所

示，常把平行四边形的一边画成竖向.

(3)平面的表示方法

平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶

点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.

2．点、直线、平面的位置关系的符号表示

点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的

集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示.点、直线、平面之间位置关系的符号表示举例如下：

3．三个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论

(1)三个基本事实及其表示

(2)三个基本事实的作用

基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.

(2)基本事实1和2的三个推论

4．空间中直线与直线的位置关系

(1)三种位置关系

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：

(2)异面直线的画法

为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.

5．空间中直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：

6．空间中平面与平面的位置关系

(1)两种位置关系

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：

(2)两种位置关系

平行平面的画法技巧

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.

7．平面分空间问题

一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?

(1)两个平面有两种情形：

①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；

②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).

(2)三个平面有五种情形：

①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；

②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；

③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；

④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；

⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).

【题型1平面的基本性质及推论】

【方法点拨】

根据平面的基本性质及其推论，结合题目条件，进行求解即可.

【例1】（2023·高一课时练习）下列命题中，正确命题的个数是（????）

①四边相等的四边形为菱形；

②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；

③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；

④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-1】（2022春·上海浦东新·高二期末）如图，α∩β=l，A,B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l=M，过A,B,C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（????）

A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M

【变式1-2】（2022·高一课时练习）已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理中错误的是（????）

A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a?β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，则直线MN?α，直线MN?β

C．A∈α，A∈β，则α∩β=A

D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线，则α、β重合

【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）下列命题中

①空间中三个点可以确定一个平面.

②直线和直线外的一点，可以确定一个平面.

③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.

④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.

⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.

真命题的个数为（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【题型2点共线、点线共面问题】

【方法点拨】

证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.

证明点、线共面的主要依