高中数学培优讲义练习（必修二）：专题9.1 随机抽样（重难点题型精讲）（学生版）.docxVIP

专题9.1随机抽样（重难点题型精讲）

1．抽样调查的必要性

(1)相关概念

名称

定义

全面调查（普查）

对每一个调查对象都进行调查的方法.

抽样调查

根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.

总体

调查对象的全体.

个体

从总体中抽取的那部分个体.

样本

从总体中抽取的那部分个体.

样本量

样本中包含的个体数.

(2)抽样的必要性

普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如：

①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格.

②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽.

2．简单随机抽样

(1)简单随机抽样的概念

一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.

(2)（不放回）简单随机抽样的特征

①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.

②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.

③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.

④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性.

3．两种常见的简单随机抽样方法

(1)抽签法

一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也

可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回

地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.

(2)随机数法

先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中

的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.

(3)两种抽样方法的优缺点

抽样方法

优点

缺点

适用范围

抽签法

简单易行.

总体量较大时，操作起来比较麻烦.

适用于总体中个体数不多的情形.

随机数法

简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题.

总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便.

总体量较大，样本量较小的情形.

4．总体平均数与样本平均数

(1)概念

名称

定义

总体均值（总体平均数）

一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数.

如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式.

样本均值（样本平均数）

如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数.

说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数；

(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）；

(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.

(2)求和符号的性质

①；

②，其中k为常数.

5．分层随机抽样

(1)分层随机抽样的必要性

简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比

较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样.

(2)分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个

子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.

(3)比例分配

在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即

①=；

②=.

(4)分层随机抽样的步骤

(5)分层随机抽样的特点

①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；

②分成的各层互不重叠；

③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量;

④分层