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专题5.13三角函数的应用(重难点题型精讲)
1.函数,中各量的物理意义
在物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与函数
中的常数有关.
2.三角函数的简单应用
(1)三角函数应用的步骤
(2)三角函数的常见应用类型
①三角函数在物体简谐运动问题中的应用.
物体的简谐运动是一种常见的运动,它的特点是周而复始,因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.
②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用.
物体的旋转显然具有周期性,因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态.
③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用.
大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性,因此常用三角函数模型来解
决这些问题.
【题型1三角函数在物体简谐运动问题中的应用】
【方法点拨】
物体的简谐运动是一种常见的运动,它的特点是周而复始,因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.
【例1】(2022·全国·高三阶段练习(文))如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象,则下列判断错误的是(????)
A.该弹簧振子的振幅为2cm
B.该弹簧振子的振动周期为1.6s
C.该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大
D.该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零
【解题思路】由简谐运动图象可得出该弹簧振子的振幅、最小正周期,可判断AB选项的正误,再根据简谐振动的几何意义可判断CD选项的正误.
【解答过程】由图象及简谐运动的有关知识知,该弹簧振子的振幅为2cm,振动周期为2×1?0.2
当t=0.2s或1.0s时,振动速度为零,该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零.
所以,ABD选项正确,C选项错误.
故选:C.
【变式1-1】(2021·全国·高一专题练习)在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时.则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为(????)
A.x=32sin
C.x=32sin
【解题思路】设x=ft=Asinωt+φω0,根据振幅确定A,根据周期确定ω
【解答过程】设位移x关于时间t的函数为x=ft
根据题中条件,可得A=3,周期T=2πω=3
由题意可知当x=0时,ft取得最大值3,故3sinφ=3
所以x=3sin
故选:D.
【变式1-2】(2022·湖南·高一课时练习)如图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是
A.该质点的振动周期为0.7
B.该质点的振幅为?5
C.该质点在0.1s和0.5
D.该质点在0.3s和0.7s
【解题思路】由简谐运动得出周期和振幅,质点位移为零时,速度最大,加速度最小;位移最大时,速度最小,加速度最大.振动图象上某点的切线斜率的正负代表速度的方向,根据以上知识可判断出各选项命题的正误.
【解答过程】对于A、B选项,由图可得知振幅为5cm,周期为2×0.7?0.3
对于C选项,质点在0.1s和0.5s时刻,质点的位移为最大值,可知速度为零,C选项错误;
对于D选项,质点在0.3s和0.7s时刻,质点的位移为0,则质点受到的回复力为0,所以加速度为0,D选项正确.
故选D.
【变式1-3】(2022·宁夏·高三阶段练习(理))我们来看一个简谐运动的实验:将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴,把漏斗灌上细沙拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.如图所示.已知一根长为Lcm的线一端固定,另一端悬挂一个漏斗,漏斗摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=2cosgLt,其中g≈980cm/s2
A.3.6 B.3.8 C.4.0 D.4.5
【解题思路】由图象观察得出函数s=2cosglt的最小正周期为
【解答过程】解:由题意,函数关系式为s=2cos
由图象可知,函数s=2cosgl
T=2πgl
故选:C.
【题型2三角函数在圆周运动问题中的应用】
【方法点拨】
这类题一般明确地指出了周期现象满足的变化规律,例如,周期现象可用形如或
的函数来刻画,只需根据已知条件确定参数,求解函数解析式,再将题目涉及的具
体的数值代入计算即可.
【例2】(2022·浙江温州·高二期中)一半径为2米的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面1米,已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时,则点P距离水面的高度h(米)与t
A.?=2sinπ30
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