高中数学培优讲义练习（必修一）：专题3.5 幂函数-重难点题型精讲（教师版）.docxVIP

专题3.5幂函数-重难点题型精讲

1．幂函数的概念

(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)幂函数的特征：

①xα的系数为1；

②xα的底数是自变量；

③xα的指数为常数.

只有同时满足这三个条件，才是幂函数.

2．常见幂函数的图象与性质

温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a0时，y＝xα是增函数；当α0时，y＝xα是减函数．

3．一般幂函数的图象与性质

(1)一般幂函数的图象：

①当α=1时，y=x的图象是一条直线.

②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.

③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：

(2)一般幂函数的性质：

通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：

①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).

②α0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.

③α0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.

⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.

4．对勾函数的图象与性质

参考幂函数的性质，探究函数的性质.

(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.

(2)函数的定义域为；

(3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+).

(4)奇偶性：，函数为奇函数.

(5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在

(-1,0)，(0,1)上单调递减.

【题型1幂函数的概念、解析式】

【方法点拨】

(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.

(2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y＝xα(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式.

【例1】（2022春?杨陵区校级期末）现有下列函数：①y＝x3；②y=(12)x；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（

A．1 B．2 C．3 D．4

【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，得出结论．

【解答过程】解：∵形如y＝xα（α为常数）的函数叫做幂函数，

∴①y＝x3、⑥y＝x是幂函数，故①⑥满足条件；

而②y=(12)x、⑦y＝ax（a＞

显然，③y＝4x2、④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2不是幂函数，故③④⑤不满足条件；

故其中幂函数的个数为2，

故选：B．

【变式1-1】（2021秋?阳春市校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图象过点(3，3)，则f

A．﹣2 B．1 C．2 D．4

【解题思路】设幂函数的解析式为f（x）＝xα，代入点可求α的值，从而可求f（4）的值．

【解答过程】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，

因为幂函数y＝f（x）的图象过点(3，3)，所以3α=3

所以f（x）=x，f（4）=4

故选：C．

【变式1-2】（2022春?榆林期末）下列函数是幂函数的是（）

A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y＝x3 D．y＝2x

【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，得出结论．

【解答过程】解：根据形如y＝xα（α为常数）的函数为幂函数，

由选项可知，C符合．

故选：C．

【变式1-3】（2022春?广陵区校级月考）若幂函数f（x）＝xa的图象经过点(2，316)，则函数

A．f(x)=x43 B．f(x)=x13 C

【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出它的解析式．

【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝xa的图象经过点(2，

∴2a=316=23

故选：A．

【题型2幂函数的定义域、值域】

【方法点拨】

根据幂函数的解析式，可以将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域，再根据定义域来求幂函数的值域.

【例2】（2021秋?房山区期末）下列函数中，值域是R的幂函数是（）

A．y=x13 B．y=(13)x

【解题思路】由题意，利用幂函数、指数函数的单调性和值域，得出结论．

【解答过程】解：在R上，函数y=x13=3

由于函数y=(13)x的值域为（0

由于函数y=x23=3x2

由于函数y=(23)x的值域为（0

故选：A．

【变式2-1】（2021秋?吕梁期末）已知幂函数f（x）的图象过点(2，2)，则f

A．R B．（0，+∞）

C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0